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「5-√2が無理数であることの証明」で5-√2=a (aは有理数)とおいて証明できるのは√2が
無理数であることは既知とする、という前提があるからです。もしその前提がないなら、
5-√2=p/q (p,qは整数)とか置くしかありません。

「√3が無理数であることの証明」ではなんの前提もないはずです。だから√3が有理数である
と仮定して矛盾を出すしかありません。だから√3=p/q (p,qは整数)とか置きます。
ここでp,qは互いに素とするのは、そうできるしそうした方が簡単だからです。
p,qを正にするのは、そうできるからです。そうしたら簡単になるわけではないけど。

√3=p/q (p,qは整数)と置いたら次のような答案になります。
分母を払って√3q=p、両辺を2乗して$3q^2=p^2,$左辺は3の倍数だから右辺も3の倍数
従ってpは3の倍数、p=3p'(p'は整数)とおける。これを代入して$3q^2=9p'^2,$両辺を3で
割ってq^2=3p'^2、右辺は3の倍数だから左辺も3の倍数、q=3q'(q'は整数)とおける。
これを代入し$て9q'^2=3p'^2、3q'^2=p'^2$、ここで最初の式のp,qをp',q'にした式に
なった。全く同じことをしてp'もq'も3で割り切れる。これは何回でも続けることができる。
pもqも3で何回でも割り切れることになるがこれはありえない。

p,qを互いに素としておればp,qがともに3で割り切れる、となったところで矛盾になり
証明が短くなるから普通はそうします。

背理法を利用して√3が無理数であることを証明せよ。という問題につまづいています。
例えば5-√2が無理数であることの証明は5-√2が有理数と仮定するとaとおけるのに、√3が無理数であることの証明にはa/bなど分数の形でおく必要があるのでしょうか？その時、（a、bは互いに素である自然数）や規約分数など何故約分出来ない数に限定するのかも理解できませんでした。
言葉足らずな部分がありましたら申し訳ございません。よろしくお願いします