数学言語

[ 曲線束 ]
異なる共有点を持つ
二つの曲線
F₁:f₁(x,y)=0
この問題では、
(x-x₁)²+(y-y₁)²-r₁²=0

F₂:f₂(x,y)=0
この問題では、
(x-x₂)²+(y-y₂)²-r₂²=0

に対して、

G: p・f₁(x,y)+q・f₂(x,y)=0
(p,qはいずれか一方は0ではない定数)
と置くと、
これは、
二つの共有点を通る図形
を表します。

多くの場合
p・q≠0
のため、
簡単な式f₁(x,y)=0
の方の係数で割って、
k・f₁(x,y)+f₂(x,y)=0
から始めています。

この問題の場合には、
例えば、
G:k・{(x-x₁)²+(y-y₁)²-r₁²}+{(x-x₂)²+(y-y₂)²-r₂²}=0
[1] k=-1のとき
x,yに関しての
一次方程式より、
直線を表します。

[2] k≠-1のとき
x²,y²の係数が
一致するため、
円を表します。

但し、
Gは、F₁を表すことは
できません。

円f(x,y)とg(x,y)が2つ共有点を持つとき、二つの交点を通る曲線を実数kを用いて、k*f(x,y)+g(x,y)=0と表す。
上記について、この曲線は「直線または円」と習ったのですが、この曲線の式からは二つの共有点を通る何かしらの曲線とまでしか読み取れないと思うのですが、なぜ「直線または円」と限定されるのでしょうか？

2点を通る式ならば、他にもn次関数(n∈N)や2次曲線など色々考えられるのではないかと思いました。

もしかすると、何か考慮すべき条件を見落としている可能性もありますので、そちらも踏まえて教えていただきたいです。

よろしくお願いします。