数学言語

すべての実数aをa=1/2を境目に分ける分け方には
①a<1/2または1/2≦a
②a≦1/2または1/2<a
③a≦1/2または1/2≦a
の三通りあります。
よくあるダメな分け方は
④a<1/2または1/2<a
です。
なぜ④がダメなのかと言えば、境界点がどこにも含まれていないからです。つまりa=1/2の場合がどこにもない、a=1/2の場合の考察が足りないからです。
したがって、場合分けをするときは、境界点をどこかに必ず含めるように注意しなければなりません。
つまり境界点が抜けないように不等号に「=」をつけなければならないということです。
①②③はちゃんと「=」がついているので、a=1/2の場合が抜けていないのでOKとなります。
①②③の使い分けについては、ほとんどの場合はどれでもいいです。好みで選んでください。①のように分けられていることが多いと思いますが、どれでもいいので「自分の答えが解答と違う」と気にする必要はありません。
難関大レベルの数学になると①②③のどのわけ方が良い、というようなことも生じますが、初心者はそんなことは気にしなくていいです。
私は初心者には③の分け方をオススメします。すなわちすべての不等号に「=」をつけます。すべてに付けると決めておけば「どれにつけようか？」と悩むことは無いし、そもそもつけ忘れることもありません。

場合分けをする際 境界点を1つの場合のみに含めるのはなぜですか？
例えば、変域の中央が x=1でグラフの軸が x=2aのとき、
軸が X =1の左側にある場合a＜２分の1
軸が X =1の右側にある場合a≧２分の1
のように片方だけに境界点を含めています。
よろしくお願いいたします。