数学言語

「何を言っているかわからない」と感じるのは、
そもそも「f(x)がx=aで連続」の定義、
①極限値lim(x→a)f(x)が存在し かつ
②lim(x→a)f(x)=f(a)
の意味がわからないからではないですか？

感覚的には
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
連続は道路と同じ。連続＝つながっている
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
と考えてください。

以下の問題について考えます
f(x)はx=aで連続であるという問題です。
①は極限が存在し、左右の極限が一致
②はlimf(x)=f(a)になる
(1)不連続①が×
(2)不連続①が満たして②が×
(3)連続①も②も満たす

(1)のような道路をつながっているとは言いません。
だから連続ではありません。
(2)のような道路もつながっているとは言いません。
ほとんどつながっていますが、x=aの１か所に穴があります。
通れませんのでx=aで連続ではありません。
これを数学的に書いたのが最初の①②です。

①極限値lim(x→a)f(x)が存在する
とはどういうことか、数学的な約束は、
①´右側極限=左側極限
ということです。このことは教科書で確認してください。
片側極限が初めて出てきたところにあるはずです。
①´とは、x=aの両側から近づくとグラフが出会う、ということです。
画像の例(2)の場合、①´右側極限=左側極限になります。
白マルの座標(a,c)とすると、
左側から近づいても白マルに行き、つまりlim(x→a-0)f(x)=c
右側から近づいても白マルに行く、つまりlim(x→a+0)f(x)=c
となると、これを
「極限値lim(x→a)f(x)が存在して、その極限値はc」
と言い、lim(x→a)f(x)=cと書きます。しつこいですが、

右から近づくとy座標が4で左から近づくと3であれば
yが4,3のどちらに近づくか言い切れません。しかし、
右から近づいても3、左から近づいても3ならば「yは3に近づく」
と言ってもよさそうではないですか？

ここではまだ白マルか黒マルかはどちらでもいい

ので注意してください。とにかく、
出会う＝左右一致＝極限値存在
です。
一方、lim(x→a)f(x)と言われると普通に代入してf(a)と等しい
と思いがちですが、画像の例(2)のようにlim(x→a)f(x)=c
でもf(a)≠cの場合があります。((a,c)と(a,f(a))は別の点)
(2)は①は成り立っている（左右極限一致）状態ですが、
②は成り立ちません。ですから不連続です。
道路はつながっていないので納得はできますでしょうか？

①②が両方成立しているのが例(3)です。

(2)で２点(a,c)と(a,f(a))が一致すれば連続になりますが、
２点が一致するということはc=f(a)ということになるので
②が成立するということになります。
画像の例(1)(2)(3)の違いが分かれば連続の意味がわかる
と思います。この後、「連続であることの証明問題」を
ご自身でやることになると思いますが、その手順は、

★★★★★★★★★★
①を示して、②を示す
★★★★★★★★★★
です。やってみてください。

なお、後で習う微分可能と併せて書くと、
連続＝グラフがつながっている
微分可能＝グラフがなめらか です。
なめらか⇒つながっている と言えるので、
「微分可能⇒連続」が言えます。（簡単に言うと）
逆は不成立です。
「微分可能」についても①＝①´の考え方を使うので
慣れておきましょう。

【数学Ⅲ】関数の連続性がわかりません。

教科書の関数の連続性の分野を読んでも何を言っているかわかりません。
わかりやすく説明して頂けないでしょうか。
また、この分野はⅠAⅡBの応用に
なっていたりするのでしょうか。
だとしたらどの分野を復習すれば理解できるようになるでしょうか。
回答よろしくお願いします。