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確率密度関数は偶関数なので、Xの奇数乗の期待値は、（収束するなら）必ず 0 になります。

後は、質問文にある通り期待値の線形性を使って計算するだけです。

E[(1+2X)³] = 1 + 12 * E[X²] = 13

これで計算が楽になると思われます。

確率変数の期待値に関する問題です。
確率変数Xが平均0, 分散1の標準正規分布に従っているとき、Y=1+2XとするとY^3の期待値E[Y^3]は幾つになりますか？
Y^3を展開した上で、E[Y^3]=13+8E[X^3]となったので、E[X^3]を求めようと思い、∮x^3f(x)dxを-∞から∞の範囲で求めようとしています。この方法で答えは出るのかが不安です。

f(x)=1/√(2π)*exp((-x^2)/2)です。
しかし積分計算がうまくいきません。
積分のうまいやり方と、途中までの解き方に間違いがないか教えてください。

どうぞよろしくお願いいたします。