数学言語

厳密でない解説かもしれませんが、ややわかりやすく説明します。

まず f(x)=sqrt(x) という関数のグラフで考えましょう。
一単位毎に長さは f(n-1), n∈Z である直方形をグラフに表示すると、
各直方体の面積を計算すれば、0, 1, sqrt(2), sqrt(3) ... となり、
つまり n まで全ての直方体の面積を足し合わせると、与式の 左辺 - sqrt(n) に等しい。

そして、この関数の曲線と横軸で囲まれた面積を定積分で求めると、画像通り、各直方体の面積が曲線の下に少し縮んだから定積分で求めた面積より小さいことがわかります。

よって、sqrt(1)+sqrt(2)...+sqrt(n-1) <(2/3)n*sqrt(n) がわかります。
両辺の式にさらに sqrt(n) を足すと、n は必ず自然数だから
sqrt(1)+sqrt(2)...+sqrt(n) <(2/3)n*sqrt(n)+sqrt(n) が成り立つ。

＊一番目の画像には間違いがあります、「足す」ではなく「足し合わせる」でした。訂正させて頂きます。



高校範囲でも説明しますね
y=√xのグラフを考えます。kを自然数とします。kからk+1までのグラフの面積（∫[k→k+1]√xdx）よりも幅1(kからk+1まで), 高さ√kの長方形の面積の方が小さいので、（簡単な図を書いてみると明らかです。）
$√k < ∫[k→k+1]√xdx$
が成り立ちます。
これをk=1からn-1まで足し合わせて、
$√1+√2+…+√n-1 < ∫[1→2]√xdx + ∫[2→3]√xdx +…+ ∫[n-1→n]√xdx$
$√1+√2+…+√n-1 < ∫[1→n]√xdx$

ここで、（右辺）$=∫[1→n]√xdx=∫[1→n]x^(1/2)dx$
$=2/3[x√x][1→n]=2/3n√n-2/3 $なので、
$√1+√2+…+√n-1 < 2/3n√n-2/3$

また、（左辺）<（右辺）< (右辺)+2/3 から、（左辺）< (右辺)+2/3 なので、
$√1+√2+…+√n-1 < 2/3n√n$
両辺に√nを足して
$√1+√2+…+√n-1+√n < 2/3n√n+√n$

いかがでしょうか？

数三の定積分と不等式についてです。
こちらのほうも証明と解説の方をお願い致します。

※この質問以外にもいくつか証明の質問をさせて頂いておりますので、もし良ければ別の証明についてもご回答頂ければ嬉しく思います。（涙）