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\[t=2^x+2^{-x+2}\]
とおく。$2^x>0,2^{-x+2}>-0$とおく
相加平均・相乗平均の関係より
\[t=2^x+2^{-x+2} \geq 2 \cdot \sqrt{2^x \cdot 2^{-x+2}}=4\]
等号成立条件は$ 2^x=2^{-x+2}$
これを解いて $x=1$
\[y=4^x+4^{-x+2}-5 \cdot 2^{x+1}-10 \cdot 2^{-x+2}+26 \]
とおく。
\[y=4^x+4^{-x+2}-10 \cdot 2^x-10 \cdot 2^{-x+2}+26 \]
\[=4^x+4^{-x+2}-10 (2^x+2^{-x+2})+26 \]
\[t^2-8-10t+18=(t-5)^2-7 \]
また $-7<a<-6$より$t$は4より大きい異なる2個の解を持つ

ここで、$t>4$のとき
方程式$2^x+2^{-x+2}=t$において
$2^x=X$とおく。$X>0$で
\[ 2^x+\frac{4}{2^x}=t \]
より整理すると
\[ X^2-tX+4=0\]
となる。
$f(X)=X^2-tX+4$とおく。
\[f(0)=4>0 \]
$f(X)=0$の判別式を$D$とすると
\[D=t^2-16>0\]
軸について
\[X=\frac{t}{2}>0 \]
よって、$t>4$のとき$f(X)=0$は異なる二つの正の解をもつ
1つの$t$に対して異なる2つの解があるから
$-7<a<-6$のとき実数解の個数は4個

この問題の「ス」について、解き方も含めて教えてください。

定数aの範囲は-7<a<-6のようです。