数学言語

by **ゲスト** » 2025/3/25(火) 13:05:23

間違えました

by **ゲスト** » 2025/3/25(火) 13:04:57

つづき

by **ゲスト** » 2025/3/25(火) 13:01:57

[Ⅲ] $a \geq 2 $のとき
$a-1 \geq 1 $
$0 \leq x \leq 1$より
\[x^2-2ax+a^2-1 \geq 0 \]
よって
\[f(a)=\int_{0}^{1}(x^2-2ax+a^2-1)dx=[F(x)]_{0}^{1} \]
\[ =F(1)-F(0)=a^2-a-\frac{2}{3} \]

by **ゲスト** » 2025/3/25(火) 12:59:55

[Ⅱ] $1 \leq a \leq 2$のとき
$0 \leq a-1 \leq 1$
$0 \leq x \leq a-1$のとき
\[x^2-2ax+a^2-1 \geq 0 \]
$a-1 \leq x \leq 1$のとき
\[x^2-2ax+a^2-1 \leq 0 \]
よって
\[f(a)=\int_{0}^{a-1}(x^2-2ax+a^2-1)dx+\int_{a-1}^{1}(-x^2+2ax-a^2+1)dx\]
\[=[F(x)]_{0}^{a-1}+ [-F(x)]_{a-1}^{1}\]
\[ =F(a-1)-F(0)-F(1)+F(a-1) \]
\[=\frac{2}{3}(a-1)^2 (a+2)-a^2+a+\frac{2}{3}=\frac{2}{3}a^3-a^2-a+2 \]

by **ゲスト** » 2025/3/25(火) 12:54:18

\[x^2-2ax+a^2-1=(x-a)^2-1=(x-a-1)(x-a+1)\]
$x^2-2ax+a^2-1=0$を解くと$x=a-1,a+1$
\[F(x)=\frac{x^3}{3}-ax^2+(a^2-1)x \]
とおくと
\[F(0)=0,F(1)=a^2-a-\frac{2}{3},F(a-1)=\frac{1}{3}(a-1)^2 (a+2)\]
[Ⅰ] $0 \leq a \leq 1$のとき
$-1 \leq a-1 \leq 0$
$0 \leq x \leq 1$より
\[x^2-2ax+a^2-1 \leq 0 \]
よって
\[f(a)=-\int_{0}^{1}(x^2-2ax+a^2-1)dx=-[F(x)]_{0}^{1} \]
\[ =-F(1)+F(0)=-a^2+a+\frac{2}{3} \]
つづく

by **ゲスト** » 2025/3/25(火) 09:28:38

解答を載せておきます。

by **ゲスト** » 2025/3/25(火) 09:28:10

aのせいで方針が全くたちません。最初から丁寧にお願いしたいです。

数学言語

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