数学言語

自然数についての命題があります。その命題をＰ（ｎ）と書きましょう。

ｎ＝1のとき成り立つ，をＰ（１）と書きましょう。
ｎ＝2のときも成り立つなら，Ｐ（２）です。
ｎ＝3 〃 Ｐ（3）。

もしも，10以下の自然数ｎについて証明せよ。という証明問題ならば，
ｎ＝1，2，3，・・・，10のとき，と10個の場合についてすべて証明する
ことも可能です。が，自然数ｎについて証明せよ。という問題ならば，
これはもう，1つずつ証明していくことは不可能ですね。ｎは無数にある
のですから。そこで，証明の方針を変更するわけです。

ｎ＝1で成り立つならば、ｎ＝2でも成り立つ。

これを

Ｐ（１）⇒Ｐ（２）と書きましょう。
Ｐ（２）⇒Ｐ（３）
Ｐ（３）⇒Ｐ（４）

のそれぞれを証明できても，やっぱり駄目でよね。でも，

Ｐ（ｋ）⇒Ｐ（ｋ＋1） ……（＊）

が証明できたらどうでしょう。ｋのとき成り立つならばｋ＋1でも成り立つ。
これが証明できたら，

1のとき成り立てば2でも成り立つ
2で成り立つから3でも成り立つ
3でＯＫだから4も大丈夫
：
：
これは，どこまでもどこまでも進んでいきませんか。

1枚目がたおれれば2枚目も倒れる
2枚目がたおれれば3枚目も倒れる
3枚目がＯＫなら4枚目もＯＫ

というドミノ倒しのイメージですね。

無数にあるドミノがすべて倒れるための条件は

隣のドミノが倒れる

ですよね（ぷらす，1枚目が倒れる）。この隣のドミノが
倒れる，を数学的に表したものが（＊）です。

普通の数学的帰納法は
まずn=1の時成り立つを確認しますね。
次にn=kと仮定します。
仮定した式を使い
n=k+1の時
に成り立つかどうかです。
例
1+2+3......+n=(1/2)n(n+1)
n=1の時 成り立つ 左辺１ 右辺=(1/2)*1*2=1
n=kの時に成り立つと仮定すると
n=k+1の時 当然その式を使います。使わなければ出来ません。
∴(1/2)k(k+1)+(k+1)を考えます。
＝(1/2)(k+1)(k+2) これは与式の右辺にk+1を代入した式に等しい。
∴等しい。仮定した式を使い式が等しいのでこれで成立です。
もし等しくないなら当然仮定が間違えという事になります。
すなわち最初から等しくないという事です。
普通は教科書でも参考書でもここまでは説明しません。
お分かりですね。これがこの証明のやり方です。
n=1で成り立ちn=k+1で成り立ったので後は 自然数の性質よりそうなります。 以上です。

数学的帰納法の式変形について。
いつも問題に取りかかっても式変形で躓きます。
どうやればいいのかまったくわかりません。今の状況は問題集の基本的なやり方をただ丸暗記してる感じです。
何かコツや押さえておくべき考え方がありましたら教えてください。