数学言語

\[x=1+\sqrt{3}\]
より
\[x-1=\sqrt{3} \]
両辺を2乗して
\[(x-1)^2=(\sqrt{3})^2 \]
\[x^2-2x+1=3\]
\[x^2-2x-2=0 \]
係数を比較して
$a=-2,b=-2$

xの二次方程式x^2+ax+b=0(a,bは整数)の1つの解が1+√3 のときのaとbの値を求めよ。

という問題で、普通にxに1+√3　を代入して求めようとしたのですが、他に簡単な求め方があると言われました。解が2つ分かっている場合だと解と係数の関係も使えますし、やり方が分かるのですが、1つしか分かっていない場合に簡単な求め方があるのですか？
ちなみにこれは穴埋め問題でした。
穴埋めの時だけ使える裏技などがあるのでしょうか？