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下記のようにz=の形にするとxの二次関数に見えますよね。
\begin{equation}
z=2x^2-3x
\end{equation}
本題に行く前に、まずはこの二次関数だけに注目して平方完成してみましょう。
\begin{align}
z &=2x^2-3x\\
&=2(x^2-\frac{3}{2}x)\\
&=2[(x-\frac{3}{4})^2-\frac{9}{16}]\\
&=2(x-\frac{3}{4})^2-\frac{9}{8}
\end{align}
縦にz軸、横にx軸をとると、図①のとおり下に凸の二次関数が描けますね。
すると、zの最小値は-9/8になっているので、zは次のように表せられます。
\begin{equation}
z\geqq-\frac{9}{8}
\end{equation}
このように数式を文字で置いた時、新たに条件が発生することが多々あるので、範囲が限定されないか常に確認する必要があります。

この前提で(2)の設問について、zを使ってみやすい形にしてみます。
\begin{align}
y &=(2x^2-3x+2)(-2x^2+3x-1)+1\\
&=(z+2)(-z-1)+1\\
&=-z^2-3z-2+1\\
&=-z^2-3z-1
\end{align}
これを平方完成すると
\begin{equation}
y=-(z+\frac{3}{2})^2+\frac{5}{4}・・・A
\end{equation}

この二次関数は縦にy軸、横にz軸をとると、図②のようなグラフが描けます。
ここで最大値は5/4と考えてしまいそうですが、これは間違いです。
zの範囲を思い出してください。
\begin{equation}
z\geqq-9/8
\end{equation}
zの最小値を上の式Aに代入するとyの値は
\begin{align}
y &=-(-\frac{9}{8}+\frac{3}{2})^2+\frac{5}{4}\\
&=\frac{71}{64}
\end{align}
グラフにすると図③のようになり、最終的な答えは下記のとおりです。
\begin{equation}
最大値：\frac{71}{64}、最小値：なし
\end{equation}
※グラフは下にずっと伸びていくので最小値はありません。

$2x^2^3x=z$とおく。
\[z=2(x^2-\frac{3}{2}x)=2[ x^2-\frac{3}{2}x+(\frac{3}{4})^2-(\frac{3}{4})^2]
=2(x-\frac{3}{4})^2-\frac{9}{8}\]
\[2(x-\frac{3}{4})^2 \geq 0 より z \geq -\frac{9}{8}\]

このとき
\[y=(z+2)(-z-1)+1=-(z+2)(z+1)+1=-(z^2+3z+2)+1=-z^2-3z-1
-[z^2+3z+(\frac{3}{2})^2-(\frac{3}{2})^2]-1=-(z+\frac{3}{2})^2+\frac{5}{4}\]
\[-\frac{9}{8}>-\frac{3}{2}より\]
\[z=-\frac{9}{8}のとき最大値\frac{71}{64}をとる\]

（2）を教えてください。
2x²-3x＝zと置いたとき、zの範囲がz≧-9/8となる理由がわからないです
それ以降も正直あまりわかっていないので、丁寧に教えていただけるとありがたいです。ご回答宜しくお願い致します。