数学言語

接するというキーワードから、ここでも判別式を使えば良いということですね。
とても丁寧に解説を作っていただきありがとうございました。

平行移動後の2次関数を
\[y=\frac{1}{2}x^2+ax+b \]
とおく。
$y=-x$と接するから
\[\frac{1}{2}x^2+ax+b=-x \]
は重解をもつ。
\[\frac{1}{2}x^2+(a+1)x+b=0\]
の判別式を$D_1$とすると
\[D_1=(a+1)^2-4 \cdot \frac{1}{2} \cdot b=(a+1)^2-2b \]
$D_1=0$より
\[ (a+1)^2=2b \cdots ① \]
また、$y=3x$と接するから
\[\frac{1}{2}x^2+ax+b=3x \]
は重解をもつ。
\[\frac{1}{2}x^2+(a-3)x+b=0\]
の判別式を$D_2$とすると
\[D_2=(a-3)^2-4 \cdot \frac{1}{2} \cdot b=(a-3)^2-2b \]
$D_2=0$より
\[ (a-3)^2=2b \cdots ② \]
①、②より
\[(a+1)^2=(a-3)^2 \]
これを解いて$a=1,b=2$
よって、平行移動後の２次関数は
\[y=\frac{1}{2}x^2+x+2 \]
\[=\frac{1}{2}(x^2+2x+1-1)+2\]
\[=\frac{1}{2}(x+1)^2+\frac{3}{2} \]
したがって、$y=\frac{1}{2}x^2 $を
$x$軸方向に-1, $y$軸方向に$\frac{3}{2}$平行移動させたものである。

分かるようで分かりません。
「□だけ並行移動」と言われたときに「-□」とするのは分かります。でもそれが分かっていても、2つの直線に接すると言われたときにどのように考えれば良いのかが分かりません。
詳しく教えて頂きたいです。よろしくお願いします。