複素数について

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sanmama :
> zⁿ=ⁿ(cos(nπ/)+isin(nπ/))wⁿ=(√)ⁿ(cos(-
nπ/)+isin(-nπ/))
>
> Pₙ(zⁿ)Qₙ(wⁿ)
> ∠QₙOPₙ=arg(zⁿ/wⁿ)=nπ/
>
> n=k dₙ=|zⁿ-wⁿ|=|z|ⁿ-|w|ⁿ=2ⁿ-(√3)ⁿ
> n=k+ dₙ=|zⁿ-wⁿ|=|z|ⁿ+|w|ⁿ=2ⁿ+(√3)
> n= dₙ=|zⁿ-wⁿ|=√(|z|²ⁿ+|w|²ⁿ)=4ⁿ
+3ⁿ
>
> n=k
± n=
> ^10+^10=1107625, 2024^2=4096576.
>
>
הההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההההה
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展開ビュー トピックのレビュー: 複素数について

Re: 複素数について

by yasunori » 2024/12/17(火) 11:45:44

かなり難しいですね。でも場合分けして一番長さの大きいn=4k±1のときで考えるのですね。数値を入れるのは大変そうですが理屈はわかりました。ご回答ありがとうございました。

Re: 複素数について

by sanmama » 2024/12/17(火) 10:16:28

zⁿ=2ⁿ(cos(nπ/6)+isin(nπ/6)),wⁿ=(√3)ⁿ(cos(-nπ/3)+isin(-nπ/3))
となりますから,
点Pₙ(zⁿ),Qₙ(wⁿ) として,
∠QₙOPₙ=arg(zⁿ/wⁿ)=nπ/2となりますので,

n=4k のときは,dₙ=|zⁿ-wⁿ|=|z|ⁿ-|w|ⁿ=2ⁿ-(√3)ⁿ
n=4k+1 のときは,dₙ=|zⁿ-wⁿ|=|z|ⁿ+|w|ⁿ=2ⁿ+(√3)ⁿ
n=4k±1 のときは,dₙ=|zⁿ-wⁿ|=√(|z|²ⁿ+|w|²ⁿ)=4ⁿ+3ⁿ

となります。考えるのは長さが一番大きくなるn=4k±1 のとである。ここで、n=10 のときを考えてみると、
4^10+3^10=1107625, 2024^2=4096576. ゆえ不成立。
したがって、nの最小値は 11
になると思います。ご確認お願い致します。

複素数について

by yasunori » 2024/12/17(火) 01:14:57

高校数学 複素数平面の問題の解説をお願いします。
iは虚数単位であり、z=√3+i,w=√3/2-3i/2
nを正の整数として、複素数平面上の2点z^n,w^nの距離をdnとする。
dn≧2024となる最小のnを求めるという問題です。答えはn=11になるそうです。どなたか解答をお願いします。

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