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**(1) 定積分**
関数f(x) = x sin x の0 から π/2 までの定積分を計算します．
部分積分を用います．∫ u dv = uv - ∫ v du の公式において，u = x, dv = sin x dx とすると，du = dx, v = -cos x となります．
∫ x sin x dx = -x cos x - ∫ (-cos x) dx = -x cos x + ∫ cos x dx = -x cos x + sin x + C

定積分を計算します．
∫[0, π/2] x sin x dx = [-x cos x + sin x]_[0, π/2]
= (- (π/2) cos(π/2) + sin(π/2)) - (- (0) cos(0) + sin(0))
= (- (π/2) * 0 + 1) - (- 0 * 1 + 0)
= 1 - 0 = 1

したがって，定積分の値は 1 です．

**(2) 台形公式**
区間[a, b] を刻み幅 h で n 分割した場合，分割点は x_i = a + ih (i = 0, 1, ..., n) となります．ここで h = (b - a) / n です．台形公式は以下のように表されます．

T = (h/2) * [f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + ... + 2f(x_{n-1}) + f(x_n)]

これを総和記号を用いて表すと，

T = (h/2) * [f(x_0) + f(x_n) + 2 * Σ_{i=1}^{n-1} f(x_i)]

または，

T = h * [ (f(x_0) + f(x_n))/2 + Σ_{i=1}^{n-1} f(x_i) ]

または，

T = (h/2) * Σ_{i=1}^{n} (f(x_{i-1}) + f(x_i))

**(3) 台形積分 (h = π/4)**
区間 [0, π/2] を h = π/4 で分割します．
x_0 = 0
x_1 = 0 + π/4 = π/4
x_2 = 0 + 2(π/4) = π/2
分割点は x_0 = 0, x_1 = π/4, x_2 = π/2 の3点です．
それぞれの点での関数値を計算します．
f(x_0) = f(0) = 0 * sin(0) = 0
f(x_1) = f(π/4) = (π/4) sin(π/4) = (π/4) * (√2 / 2) = π√2 / 8
f(x_2) = f(π/2) = (π/2) sin(π/2) = (π/2) * 1 = π/2

台形公式を用いて近似値を計算します．
T = (h/2) * [f(x_0) + 2f(x_1) + f(x_2)]
T = (π/4 / 2) * [0 + 2 * (π√2 / 8) + (π/2)]
T = (π/8) * [ (π√2 / 4) + (π/2) ]
T = (π/8) * (π/4) * (√2 + 2)
T = π^2 * (√2 + 2) / 32

近似値を計算します．π^2 ≈ 9.8696, √2 ≈ 1.414
T ≈ 9.8696 * (1.414 + 2) / 32 = 9.8696 * 3.414 / 32 ≈ 33.69 / 32 ≈ 1.0528

**(4) 誤差の計算**
(1)で求めた厳密な定積分の値は 1 です．(3)で求めた台形積分の近似値は T = π^2 * (√2 + 2) / 32 ≈ 1.0528 です．
誤差 = |近似値 - 厳密値| = |1.0528 - 1| = 0.0528

厳密な誤差は
誤差 = T - 1 = π^2 * (√2 + 2) / 32 - 1 = (π^2 * (√2 + 2) - 32) / 32

**(5) 刻み幅 h = π/8 の場合の誤差の変化**
刻み幅 h を π/8 に変更すると，刻み幅が半分になります．台形公式の誤差は刻み幅の2乗に比例するため（O(h^2)），刻み幅が半分になると誤差は概ね 1/4 になると予想されます．

実際に h = π/8 の場合の台形積分を計算しなくても，誤差が約 1/4 に減少すると考えられるため，誤差は 0.0528 / 4 ≈ 0.0132 程度になると予想できます．

もし台形積分値を計算する場合：
h = π/8 の場合，分割点は x_i = iπ/8 (i = 0, 1, 2, 3, 4) です．
T' = (π/16) * [f(0) + 2f(π/8) + 2f(π/4) + 2f(3π/8) + f(π/2)]
T' = (π/16) * [0 + 2 * (π/8)sin(π/8) + 2 * (π/4)sin(π/4) + 2 * (3π/8)sin(3π/8) + (π/2)]
T' = (π^2 / 16) * [ (1/4)sin(π/8) + (1/2)sin(π/4) + (3/4)sin(3π/8) + (1/2) ]
数値計算すると T' ≈ 1.01308 となり，誤差は |1.01308 - 1| = 0.01308 となります．
これは h = π/4 の場合の誤差 0.0528 の約 1/4 であり，誤差が刻み幅の2乗に比例することが確認できます．

**理由:**
台形公式の局所誤差は O(h^3) であり，累積誤差（積分区間全体での誤差）は O(h^2) です．したがって，刻み幅 h を半分にすると，誤差は近似的に 1/4 になります．今回のケースでは，刻み幅を π/4 から π/8 に変更（半分に）したため，誤差は元の誤差の約 1/4 に減少すると考えられます．

**解答**

**(1) 1**

**(2) T = (h/2) * [f(x_0) + f(x_n) + 2 * Σ_{i=1}^{n-1} f(x_i)] (ただし，h = (b-a)/n, x_i = a + ih)**

**(3) T = π^2 * (√2 + 2) / 32 ≈ 1.0528**

**(4) 誤差 = |π^2 * (√2 + 2) / 32 - 1| = |(π^2 * (√2 + 2) - 32) / 32| ≈ 0.0528**

**(5) 刻み幅 h を π/8 に変更すると，誤差は元の誤差の約 1/4 になると考えられます．これは台形公式の誤差が O(h^2) であり，刻み幅が半分になると誤差が約 1/4 に減少するためです．実際に h = π/8 で台形積分を計算すると，誤差は約 0.013 程度となり，誤差が減少することが確認できます．**

**（π/8 とした場合の台形積分の値 を求める場合）**
h = π/8 とした場合の台形積分の値 T' ≈ 1.01308 であり，誤差は約 0.01308 です．これは h = π/4 の場合の誤差 0.0528 の約 1/4 です．

**最終解答:**
(1) 1
(2) T = (h/2) * [f(x_0) + f(x_n) + 2 * Σ_{i=1}^{n-1} f(x_i)] (ただし，h = (b-a)/n, x_i = a + ih)
(3) T = π^2 * (√2 + 2) / 32
(4) 誤差 = |π^2 * (√2 + 2) / 32 - 1|
(5) 刻み幅 h を π/8 に変更すると、誤差は元の誤差の約 1/4 に減少すると考えられます。これは台形公式の誤差が刻み幅の2乗に比例するためです。

情報の講義の問題が分からないので解答お願いします。以下問題文
関数f(x) = x sin x について次の問いに答えなさい．
(1) f(x)について0 からπ /2の範囲で定積分しなさい．
(2) f(x)について範囲をa からb として台形積分により近似したい．a からb までを刻みをh でx0 からxn として分割した場合の台形公式を数学的な式で示しなさい．
(3) f(x)についてh をπ /4 として0 からπ /2 の範囲で台形積分をしなさい．
(4) (1)と(3)の結果から誤差を計算しなさい．
(5) 刻みh をπ /8 と変更した．このとき誤差がどのように変化するかを理由と共に述べなさい．なおπ /8 とした場合の台形積分の値 は説明に必要であると判断した場合にのみ求めなさい.

最初はわかるのですが、どんどん難しくなって手が付けられない状態になっています。ご解説の作成よろしくお願いいたします。