数学言語

これは自力で証明できないといけません。
実際に使うのは3次以上の方程式だから、2次方程式ではなく3次方程式で証明できる必要があります。整数についての理解があれば難しくはありません。

整数係数の方程式ax^3+bx^2+cx+d=0が有理数解を持つなら、その解は
n/m (nはdの約数、mはaの約数、nとmは互いに素)と書ける。

[証明]
x=n/mを代入してan^3/m^3+bn^2/m^2+cn/m+d=0
両辺にm^3をかけてan^3+bn^2･m+cnm^2+dm^3=0
n(an^2+bnm+cm^2)=-dm^3、nはdm^3の約数でnとmは互いに素
だからnはdの約数、m(dm^2+cnm+bn^2)=-an^3として同様のこと
をしてmはaの約数

3次方程式で証明できればn次方程式でも証明できます。

こんな感じでどうでしょうか。

数II、因数定理についてです。

公式で、
±(定数項の約数)/(最高次の係数の約数)で、その方程式の解になる
というものがあり、それについて聞きたいです。
解をα、βとして、解と係数の関係で、2次式の場合、αβ＝c/aであるならば、
その約数でなぜαβではなく、α、βのそれぞれの解だけを取り出すことができるんですか？恐らく約数にすることが原因だと思いますが、それはどういった事をしているのか、言語化していただきたいです。