数学言語

$z=F(u, v), u=ax, v=by $とすると、連鎖律より
\[ \frac{\partial z}{\partial x}=(\frac{\partial F}{\partial u})(\frac{\partial u}{\partial x})+(\frac{\partial F}{\partial v})(\frac{\partial v}{\partial x})\]
\[=a \cdot \frac{\partial F}{\partial u}+b \frac{\partial F}{\partial v} \]
となります。

2変数関数の合成関数の偏微分について質問です．

偏微分に関する問題です．
2変数関数 F(x, y) の合成関数 F(ax, by)（a, bは定数）を考え，
偏微分 ∂F(ax, by) / ∂x が F(x, y) を用いてどう表されるかが知りたいです．

私は以下のように考えています．
u=ax, v=by と置換してF(u(x), v(y))とすると合成関数の偏微分で

∂F(ax, by) / ∂x
= ∂F(u, v)) / ∂u • ∂u / ∂x + ∂F(u, v) / ∂v • ∂v / ∂x
= ∂F(u, v)) / ∂u • a
= a • ∂F(ax, by)) / ∂u

となり，∂uが残ってしまいます．
以下の計算のように進めることもできますが，結局最初に戻ってしまいます...
∂F(ax, by)) / ∂u = ∂F(ax, by)) / ∂x • ∂x / ∂u = 1/a • ∂F(ax, by)) / ∂x

これ以降の計算手順がわからないので，分かる方いらっしゃったら教えていただけませんか？

また，解き方がそもそも違うのであれば，そこについても教えてほしいです．
よろしくお願いします！！