数学言語

区分求積法についての質問です。
Σ[k=1~∞](1/($k^2$+1))の値を区分求積法を用いて、
Σ[k=1~∞](1/($k^2$+1))
=lim[n→∞]((1/n)Σ[k=1~n](n/(($n^2$)$(k/n)^2$+1)))
=lim[n→∞](∫[0~1](n/$((nx)^2$+1))dx)
=lim[n→∞](atan(n)-atan(0))
=π/2
と計算したのですが、wolfram alphaで計算させると1.076…(≠π/2)となってしまいます。区分求積法について調べてみると、どの例題においても、数列の和を定積分に還元するときに被積分関数にnが残らない形になっているので、もしかしたらそこで間違えてしまったのかな、と思ったのですが、どうでしょうか？区分求積法を用いた数列の和の計算では一般に、数列の和→定積分とするときに定積分にnが残ってしまってはいけないのでしょうか？もしそうならそれがいけない理由についても教えて頂きたいです。長く、煩わしい質問で申し訳ありません。お願いします。m(__)m