数学言語

頻出とは言えませんが、知っておくと有利にはなります。

よくわかりました。ご指導ありがとうございます。このあたりは入試でよく出題される範囲になりますでしょうか。二次試験では出される感じでしょうか。知っていれば教えていただきたいです。よろしくお願いいたします。

直線、円上の点を$P(\vec{p})$として
[1] 点$A(\vec{a})$を通り、 \vec{d} に平行な直線のベクトル方程式
$\vec{p}=\vec{a}+t \vec{d} $

[2]2点$A(\vec{a}),B(\vec{b})$を通る直線のベクトル方程式は
$\vec{p}=(1-t)\vec{a}+t\vec{b} $
前に説明した係数の和が1と同じです。

[3]点$A(\vec{a})$を通り、 法線ベクトルが $\vec{n}$である直線のベクトル方程式は
$(\vec{p}-\vec{a}) \cdot \vec{n}=0$

[4]半径 $r$,中心$A(\vec{a})$の円の方程式は
$ \left|\vec{p}-\vec{a}\right|=r $

平面$ \alpha $上の定点を$P(x_0,y_0,z_0),$ 法線ベクトルを $\vec{n}=(a,b,c)$ とする。
また、平面 $\alpha $上の任意の点を$Q(x,y,z)$とする。
$\vec{PQ}$ は $\alpha$ に含まれるから $ \vec{n} \perp \vec{PQ}$
すなわち $\vec{n} \cdot \vec{PQ}=0$
よって $\vec{n} \cdot (x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0 $
$a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$
これが平面の方程式である。

なるほど、平面でも空間でも同じようなことがいえるということですね。理解できました。あと、平面方程式の考え方や導出方法を教えてほしいです。ベクトル方程式も追加で使い方などを教えていただけると助かります。よろしくお願いいたします。

空間においても同様のことが成り立ちます。
ある平面上に一直線上にない$3$点$B,C,D$があるとする。
その平面上にない点を$A$とする。
このとき、点$P$が平面上にあることと、$\vec{AP}=s\vec{AB}+t\vec{AC}+u\vec{AD} (s+t+u=1)となる実数が存在することは同値になる。$

直線$BC$と直線$BC$上にない点$A$があるとする。
点$P$が直線上にあることと $\vec{AP}=t \vec{AB}+(1-t) \vec{AC}$ となる実数$t$が存在することは同値で、このとき
係数の和は $ t+(1-t)=1 $となる。
簡単に言うと直線$BC$上の点を表す($A$を基準とする)位置ベクトルの係数の和は常に$1$になるということです。
一次独立というのは、互いに平行でなく$0$ではない、すなわち他のベクトルを表すのに使えるということです。

ベクトルについて質問があります。どのようなときにベクトルの係数の和が1になったり、どう言うときに一次独立という文言を使うのでしょうか？係数の和が1というのはどういう理屈なのか教えていただいてもよろしいでしょうか。また、空間ベクトルにおいても同じことがいえるのでしょうか。