数学言語

腑に落とせる自信はないですが、自分の考えを書いてみます。

まず、連立方程式の一般的な解き方は大学で線形代数として習います。ここでは全てを説明できないです、すみません。

「1次式を代入するところも含めて連立方程式の解き方」っていうのは、そのとおりだと思います。
1次式を代入することは代入法に当たると思うので、「連立方程式の解き方=代入法・加減法」もあながち間違いではないように感じます。

連立方程式は、基本的には変数をどんどん減らして一つの変数の方程式を出して解けばいいと思います。

「それなのに代入法、加減法を使ったのちに出てくるのが、円上以外の点も含んだ直線であることに納得がいきません。」
数学はしばしば、具体的問題→数式化→具体的な意味を持たない数学的操作→答え→具体的意味を考えるって流れが多いと思います。
数学的操作の途中に具体的な意味を見出だすことは非常に重要だと思いますが、今回のケースでは途中の一次式はそこまで深い意味を持っていないと考えていいと思いま

たとえば「方程式 2x=4 を解く」といったときには、
xは実数の範囲として2x=4を満たすxは何かを考える。
つまり集合{x|2x=4}がどうなっているのか考えることをしています。
等式の性質より2x=4⇔x=2だから集合は{x|x=2}と同じです。これで解はx=2とわかります。

今はx,yは実数として
{(x,y)|x^2+y^2=10 かつ x^2-y^2-2x+6y+2=0}・・・☆
この集合は何なのかを求めたい。
「x^2+y^2=10 かつ x^2+y^2-2x+6y+2=0」・・・条件①とします。
①を同値⇔で書き換えていって最終的に☆という集合{(x,y)|条件①} が
{(x,y)|(x,y)=(何か,何か)}と同じことだと言いたいわけです。

さて、①からスタートするとして、(前の式)-(後ろの式)で、
「2x-6y-2=10」・・・②となりますが、この式だけでは同値ではありません。
①⇒②ですが②から①へは帰ってこれません。いらない点も含んでますー。
同値のためにはx^2+y^2=10 をなくしてはいけないのです。
「x^2+y^2=10 かつ 2x-6y-2=10」・・・②'とします。
これなら②'から①へも戻れます。①⇔②'です。
現に、一次式が出てきたら x^2+y^2=10 を使い出しますよね。

なお、「x^2+y^2-2x+6y+2=0 かつ 2x-6y-2=10」・・・②''としても同値です。
1次式を代入するときどちらの円の方程式を使うか、の違いにあたると思います。

方程式を解く時には（意識しないですが）こうして同値⇔で書き換えをしていると言えます。

着眼点、思考力、表現力なかなかいいと思いますね。
＞＞1次式を代入するところも含めて連立方程式の解き方なんじゃないかって思ったんです。
大体そういうことでいいと思います。

たとえば「方程式 2x=4 を解く」といったときには、
xは実数の範囲として2x=4を満たすxは何かを考える。
つまり集合{x|2x=4}がどうなっているのか考えることをしています。
等式の性質より2x=4⇔x=2だから集合は{x|x=2}と同じです。これで解はx=2とわかります。

今はx,yは実数として
{(x,y)|x^2+y^2=10 かつ x^2-y^2-2x+6y+2=0}・・・☆
この集合は何なのかを求めたい。
「x^2+y^2=10 かつ x^2+y^2-2x+6y+2=0」・・・条件①とします。
①を同値⇔で書き換えていって最終的に☆という集合{(x,y)|条件①} が
{(x,y)|(x,y)=(何か,何か)}と同じことだと言いたいわけです。

さて、①からスタートするとして、(前の式)-(後ろの式)で、
「2x-6y-2=10」・・・②となりますが、この式だけでは同値ではありません。
①⇒②ですが②から①へは帰ってこれません。いらない点も含んでますー。
同値のためにはx^2+y^2=10 をなくしてはいけないのです。
「x^2+y^2=10 かつ 2x-6y-2=10」・・・②'とします。
これなら②'から①へも戻れます。①⇔②'です。
現に、一次式が出てきたら x^2+y^2=10 を使い出しますよね。

なお、「x^2+y^2-2x+6y+2=0 かつ 2x-6y-2=10」・・・②''としても同値です。
1次式を代入するときどちらの円の方程式を使うか、の違いにあたると思います。

方程式を解く時には（意識しないですが）こうして同値⇔で書き換えをしていると言えます。
以下無視しても結構ですが、続きをやってみました。
ミスがあるかもしれないが流れは合っていると思います。

x^2+y^2=10 かつ 2x-6y-2=10・・・②'
⇔x^2+y^2=10 かつ x=3(y+2)
⇔ {3(y+2)}^2+y^2=10 かつ x=3(y+2)・・・[元の式に代入したところ]
⇔ 10y^2+36y+26=0 かつ x=3(y+2)
⇔ (y+1)(5y+13)=0 かつ x=3(y+2)
⇔ (y=-1 または y=-13/5) かつ x=3(y+2)
⇔(y=-1 かつ x=3(y+2)) または (y=-13/5 かつ x=3(y+2))
⇔(y=-1 かつ x=3) または (y=-13/5 かつ x=-9/5)
したがって☆は
{(x,y)|(x,y)=(3,-1)または(-9/5, -13/5)} に同じ。

2円の共有点を求める問題(1)で、恐らく的外れな質問です。
2つの円の式を連立して引いて出てきた1次式を代入すればいいという、解き方は分かるのですが、何故、共有点の座標ではなく1次式が出てくるのかが、さっぱり分かりません。

連立方程式として解くということは、円1かつ円2、ということですよね？ それなのに代入法、加減法を使ったのちに出てくるのが、円上以外の点も含んだ直線であることに納得がいきません。

自分なりに考えた結果、そもそも「連立方程式の解き方=代入法・加減法」というのが違うのではないかというところに着きました。この問題で言えば、1次式を代入するところも含めて連立方程式の解き方なんじゃないかって思ったんです。
学校では今のところ「連立方程式の解き方=代入法・加減法」という風に教えられてきたけれど、それは言ってみれば小学校で1+1が何故2になるのかまでは教えてくれない、みたいなことなのかなと。
もしそうならば、連立方程式の解き方(考え方)を一般的に説明するとどうなるのか知りたいです。

的外れな事を言っていたらすみません、何がどう違うのか、本当はどういうことなのか、合わせて教えていただきたいです。

知識は数Ⅱの三角関数までしかないですし、 数学はあまり得意ではないのですが、どうにかして腑に落として欲しいです。よろしくお願いします。