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\[x^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{x} \]
より$x>0$として考える
\[ x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}}=3 \]
両辺を2乗して
\[ (x^{\frac{1}{4}})^2 +2x^{\frac{1}{4}}\cdot x^{-\frac{1}{4}}+ (x^{-\frac{1}{4}})^2=9 \]
よって
\[ x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}} =7 \]
もう一回2乗して
\[ (x^{\frac{1}{2}})^2 +2x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{-\frac{1}{2}}+ (x^{-\frac{1}{2}})^2=49 \]
よって
\[ x+x^{-1}=47 \cdots ① \]
ここで①より
\[(x^{\frac{1}{2}}-x^{-\frac{1}{2}})^2=(x^{\frac{1}{2}})^2 -2x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{-\frac{1}{2}}+( x^{-\frac{1}{2}})^2=x+x^{-1}-2=45 \]
したがって
\[ x^{\frac{1}{2}}-x^{-\frac{1}{2}}= \pm 3\sqrt{5} \]

\[ (x^{\frac{1}{8}}+x^{-\frac{1}{8}})^2=(x^{\frac{1}{8}})^2 +2x^{\frac{1}{8}}\cdot x^{-\frac{1}{8}}+ (x^{-\frac{1}{8}})^2 =x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}}+2=5 \]
$ x^{\frac{1}{8}}>0,x^{-\frac{1}{8}}>0 $ より
\[ x^{\frac{1}{8}}+x^{-\frac{1}{8}}>0 \]
したがって
\[ x^{\frac{1}{8}}+x^{-\frac{1}{8}}=\sqrt{5} \]

それぞれ±３√５、√５が答えだということだけ分かっています。考え方の式を作っていただけませんか？