数学言語

はい、その理解で問題ないです。回してから切るのではなく切ってから回すのがコツです(伝わります？)
それを考えさせるのが(1)です。どこの大学の回転体でもこれさえわかれば戦えます。

大変丁寧にありがとうございます！(3)でz軸のことは考えなくていいのかとか思ってましたがスッキリしました！
回答者様の言葉で、自分なりに考えたことを言いますので間違ってないかどうか教えてください。


・(1)で点Pを求めさせてくれることで図形Mの方程式を考えやすくしてくれてる。
(2)で図形Mの方程式にz=0を代入させるところから、図形Mにおけるxとyの対応を知ることができるようにしてくれてる
→xとyについての関係が分かったから、(3)でそれを区間0≦x≦1でπ∫y²dxすると求める体積が出てくる。

・今回の(2)はz=0でx,yの関係を調べたが、別にz=1でも2でもx,yの関係が分かれば(3)を解くことができる

PQ:PR=1:2なので、直線QRとx軸の交点Qと、直線QRとy=2/3x²の交点Pを考えましよう。

そのために、まず直線QRの式を考えます。
直線の式は
y=(傾き)x+(y軸との交点)
で求まります。
傾きは問題にあるように-2です。
y軸との交点は問題にあるようにbです。
よって、直線QRの式は
y=-2x+b…①
となります。

直線QRとx軸の交点Qは、①のyが0のときのxの値なので
0=-2x+b
2x=b
x=b/2
となり、Qのx座標はb/2です。

直線QRとy=2/3x²の交点Pのx座標は
2/3x²=-2x+b
2x²=-6x+3b
2x²+6x-3b=0
この方程式の解は、解の公式を使って
x=-6±√(36+24b)/4=-6±2√(9+6b)/4=-3 ±√(9+6b)/2
となります。
図を見るとPのx座標は0より大きいです。
x=-3-√(9+6b)/2は0より小さいのでPのx座標ではありません。
よって、Pのx座標は
x=-3+√(9+6b)/2
です。

直線QRとx軸の交点Qと、直線QRとy=2/3x²の交点Pが求まったので、PQ:PR=1:2を使いましょう。
図を見たらわかるように、PQ:PRは(Qのx座標からPのx座標を引いたもの):(Pのx座標)と同じです。
よって
(Qのx座標からPのx座標を引いたもの):(Pのx座標)=1:2…②
です。
(Qのx座標からPのx座標を引いたもの)は
b/2-(-3+√(9+6b))/2=(b+3-√(9+6b))/2
ですから、②のとき
(b+3-√(9+6b))/2:(-3+√(9+6b))/2 =1:2
b+3-√(9+6b):-3+√(9+6b)=1:2
2b+6-2√(9+6b)=-3+√(9+6b)
2b+9=3√(9+6b)
両辺を2乗して
(2b+9)²=9(9+6b)
4b²+36b+81=81+54b
4b²-18b=0
2b²-9b=0
2b(b-9/2)=0
b=0または9/2
図を見るとbは0より大きいので
b=9/2
となります。

回転体といえば基本は上の形のものですね。
ここでいうf(x)を知ることができれば∫πy^2によって体積が計算できます。

流れに関してですが
①これを求めることで求めたい体積の断面積の半分を求められます。これを回すことで求めたい体積が求まります。
②このy座標は円の半径を示しています。πy^2で円の面積が求まります。これを範囲で積み重ねることで体積が出てきます。

[理由]
このタイプの回転体の体積は、底面の半径がyで高さがdxの微小円柱の体積の総和と考えることができるから。参考:人参の輪切りのイメージです


今回y=f(x)という形で直接与えられていないものの、立体におけるxに対応するyの値を知ることができればこのタイプの回転体として解くことができます。xに対応するyの値を知るために(2)を考える必要があるのです。

立体の形のイメージですが、(1)がヒントになっています。Pがわかればそれを軸回りに回転させた図形(この場合では円)が立体Kのx=tにおける断面です。
x=tの断面の形がわかれば、「壷だな」とわかります。それ以上立体の体積を求める上で必要な情報は無いですね。(線分の通過領域をイメージすると「ちょっとくびれた壷、神戸ポートタワー？」と想像できる人もいると思いますが、そんな空間把握能力要りません。x=tの断面さえわかれば、そんなことはイメージしなくてもわかりますから)

図も添付していきますので、ご確認をお願いします。

数Ⅲ、立体の体積です。2つ質問があります。
①この(2)でなぜxy平面と交わって得られる図形の方程式を求めたいのか

②(3)で、なぜ(2)で求めた方程式を使って体積の積分（区間0≦x≦1で∫πy²dx）すると求める体積が出てくるのか。

私は(2)と(3)の関係がイマイチつかめていません。というか図形Mがそもそも想像できてないのかなと思います。