数学言語

1. グラフの凹凸や変曲点を知りたいとき
2. f'(x)=0の解が存在するかどうか明確でなく、f'(x)の増減も調べなければならないとき
くらいでしょうか。実際に多いのは2.の方ですね。時には、f''(x)=0も具体的に解けず、f'''まで調べなければならないこともあります。
>補足について
はい、わざわざ２階微分しなくてもかまいません。後続の小問で凹凸を利用することが明らかであれば別ですが。

微分はグラフを利用するために行うという用途があると思います
２つのグラフを比較する時に片方を直線にする事を目標にするとグラフを見ただけで符号変化がわかると思います、しかし、一次関数ともう片方のグラフでも吟味する解答も見たことがあります
もう一度一次関数の方を微分したら直線にできると思うんですけど、一次関数で考える時と直線の式で考えるとき使い分けとかありますか？もしくは直線に全て直した方がいいですか？
（三角関数同士などの問題は省く）