数学言語

三角不等式から，
|QF1-QF2|≦F1F2≦QF1+QF2
が成り立ちます．
ですから2a≦2cなのは当然のことなのです．

数学III 双曲線について。
「初めから始める数学III」というテキストで数学IIIを学んでいます。双曲線の方程式に関して疑問があります。

x^2/a^2-y^2/b^2=1

で表される左右対称な双曲線について、本書内では「c>a」を自明なものとして扱っていました。そのことは図形的に明らかなように思えたのですが、図形を描くための数式を描かれる図形で説明するというのはなにか循環論法であるような気がして、「c≦a」となるような(つまり焦点とQ(x,y)の距離の差が2c以上となるような)場合について考えてみました。距離の差の絶対値は、xあるいはy軸に対象の座標について同一ですので、x≦0かつy≧0について考えました。


すると、画像のように、yが0の時にしか等式が成り立たないことが分かりました(c<aは成り立たない)。すなわち、c>aを自明なものとしているのは、「c≦aでは双曲線にならないから」ということでよいのでしょうか？

また、上記の式で表される座標がが双曲線を描くことは、どのような形で確かめられるのでしょうか？ c>aにおいて考えれば、-c<x<cに、方程式を満たすQ(x,0)があることは図形的に明らかですし、また式の形を考えれば、漸近線y=±bx/aに近づいていくことも予想できますが、この2点のみが、双曲線の性質となるところなのでしょうか？

初歩的かつ分かりづらい質問で大変恐縮ですが、どなたかご回答いただければ幸いです。また、画像内の数式に誤りがありましたらお教え下さると有難いです。