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f(x)=x, g(x)=x²としたときに
q→pまでの積分を考えると、
( ∫x²dx ) (∫x⁴dx) = (p³-q³)(p⁵-q⁵)/15
(∫x³dx)²={(p⁴-q⁴)/4}²=(p⁴-q⁴)²/16
となり、等号成立しませんよね。

ちなみに、次のような、3項のコーシー･シュワルツの不等式の場合、

(ax+by+cz)^2≦(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)

(右辺)-(左辺)
= (a^2*x^2+a^2*y^2+a^2*c^2+b^2*x^2+b^2*y^2+b^2*z^2+c^2*x^2+c^2*y^2+c^2*z^2)- (a^2*x^2+b^2*y^2+c^2*z^2+2abxy+2bcyz+2cazx)
= a^2*y^2+a^2*z^2+b^2*x^2+b^2*z^2+c^2*x^2+c^2*y^2 -2abxy-2bcyz-2cazx
=(a^2*y^2-2abxy+b^2*x^2)+(b^2*z^2-2bcyz+c^2*y^2)+(c^2*x^2-2cazx+a^2*z^2)
= (ay-bx)^2+(bz-cy)^2+(cx-az)^2 ≧ 0

となることから、等号成立条件が、ay=bx, bz=cy, cx=az となるからです。

この等号成立条件は比で表した方がスッキリし、a:b=x:y, b:c=y:z, c:a=z:x から

a:b:c=x:y:z

となります。


ちなみに、コーシー･シュワルツの不等式は、ベクトルの内積として考えることもできます。

(A↑･X↑) ≦ |A↑| |X↑|

（A↑=(a,b,c), X↑=(x,y,z)で上記不等式に対応します。 ）

図形的に考えてみますと、ベクトルの内積が、2つのベクトルの大きさの積に一致するのは、2つのベクトルが平行なときですよね。（ベクトルのなす角が0°のとき。）
ベクトルが平行になるのは、各成分の比が一定(a:b:c=x:y:z)のときですので、このことも等号成立条件が比で書かれていることの説明になると思います。

シュワルツの不等式の積分型で、等号成立条件は一般に、f(x)＝tg(x)と表されると思います。

この式は恒等式である必要があるのでしょうか？

先日、
f(x)＝x、g(x)＝1/x としている問題で、
x＝t/xはxの恒等式でないので、等号は成立しない、という解答を見ました。

f(x)＝√f(x)、g(x)＝√1/f(x)としている問題は、
√f(x)＝t√1/f(x)が恒等式の時、等号成立と書いてありました。

f(x)＝tg(x)となるxが一つでも存在すればいいわけではなく、どんなx対してもf(x)＝tg(x)が成り立たないと等号成立とは言えないのでしょうか。