数学言語

はじめまして、説明させていただきます。
困っていることがきちんと書いてあり、具体的な問題も例に出してあって、よい質問ですね。一生懸命勉強しているけれど、どうもうまくいかない、という様子がよく伝わってきます。
たぶんですが、あなたが「難しい」「うまく理解できない」と感じる理由は一つではなく、複数あるのだと思います。ただ、複数あるということを、
自分で理解していないのでしょう。
これから具体的に説明します。

＞わたしは「追いつく」という言葉にすごくひっかかってしまって、追いつくなんてことを方程式では表せないよな
いえ、表せます。もっと正確にいうと「追いつく」という言葉の一部を、
数式で表すことができます。

「追いつく」というのは、細かく言うと「動いている人や物体があり、その進行方向に、同じ方向に進んでいる別の人や物体がある状態がしばらく続いた後、当初は後ろだった人や物体の位置が、前だった人や物体の位置と並ぶ」ことを言いますね。
通常、こんな面倒な表現をしていられないから「追いつく」の一言で済ませるわけです(^^;)。
そして、式にできるのは
「後ろだった人の位置が、前だった人の位置と並ぶ」
というところです。（面倒なので「物体」は省きました。）

★つまり、「後ろの人の位置」と「前の人の位置」をそれぞれ数式で表して、それを等式で結べばよい。
言い換えると
★「後ろの人の位置」＝「前の人の位置」という式を立てればよいのです。
さて、ここで、もう一つ課題がでてきます。

『妹が、家から駅に向かって出発し、その９分後に姉が家を出て妹を追いかけました。妹は分速７５ｍで歩き、姉は分速９０ｍで歩きます。姉は出発してから何分後に妹に追いつくでしょうか？』
という問題の場合、「分からない数字」は実は二つあります。

一つは
「追いついた時に、姉と妹がいる位置（家から進んだ距離）」
もう一つは
「追いついた時の時刻（姉または妹が家を出てから、何分経っているか）」です。

たとえば
「姉が家を出てからx分後に追いつく」
として方程式を作る場合、
追いついた時までに、姉が進んだ距離＝90x

追いついた時までに、妹が進んだ距離
＝75×9(姉が家を出る前に妹が進んだ距離)＋75x(姉が家を出た後、妹が進んだ距離)
＝675+75x
という式を立てて、

★★この二つの距離が等しい
ことを考えて
90x=675+75x
という方程式を立てるわけです。
この式だけみていると、
「実は、追いつくまでに進んだ距離も分からなかったのだ」
ということには気づきにくいですが、
実際にはこうやって式を作っています。
つまり「追いついた時に、姉と妹がそれぞれ、家から進んだ距離」を、
新しい文字を使ってLと置くと
L=90x
L=675+75x
という二つの式を立て、これを組み合わせてxを求めているのです。

これは、本当ならもう少し先で習う「連立方程式」、
つまり未知数が二つある方程式の問題です。
でも、考え方を少し工夫することで、
未知数を二つ作らず、一つで済ませて解いているのです。

結局、こういう問題を解くには
◎分からない数字を、未知数（xなど）を使って数式で表す
◎同じ分からない数字を、やはり未知数を使って別の数式で表す。
◎その二つの数式が等しいと考えて、等号で結ぶ
・未知数を含む数式＝未知数を含む別の数式、という方程式ができる。
・方程式を解く。
という過程が必要になります。
これは、慣れるまでちょっと面倒ですが、
◎のところをよく考え
「こういうやり方をすればいいんだ」と意識して解いてみてください。

なお
＞妹と姉のどちらの式に入れたらよいのか考えても分からない
というのは、実は大した問題ではありません。
答えは「どっちでもいい」「実は自然に分かる」のです。

先ほどは
「姉が家を出てからx分後に追いつく」ことにして式を作りましたが、
そうではなく
「妹が家を出てからx分後に追いつく」ことして式を作ってみましょう。
すると

追いついた時までに、姉が進んだ距離
＝分速90m×（x－９）分←姉が進んだ時間は、妹より９分短いからこうなる

追いついた時までに、妹が進んだ距離＝75x

となって
90(x-9)=75x
という方程式ができます。
つまり「どちらの式に入れるか」は、
何をxと置くかを決めれば、自然にわかることで
「どちらの式に入れようか」と考えてから式を作るわけではない、
ということです。

本来は未知数を二つ使って連立方程式で解くような問題を、
未知数一つで解こうとしているのでちょっと工夫がいりますが、
何回か似たような問題をやってみると解けるようになるでしょう。
落ち着いてゆっくり考えてみてください。

具体的な問題ではないのですが、一次方程式の文章題についてｘの置き方のコツはあるのでしょうか？
文章をシンプルにしてしまうコツというか…
方程式の文章題の立式に悩む中学生です。「素直にわからないものをｘと置くのが良い」とは言われるのですが、そこまで「すんなりとはいかないなあ…」というのが実感です。特によくわからない文章題の一つに『兄弟や姉妹がなぜかあとから出発して追いつこうとする系』があります。

速さ、時間、距離（道のり）がからむときは、わたしはとにかく「き（み）・は・じ」を
ノートや答案のはしっこに書いて、その関係性のなかで作れる式はないかを考えるしかやり方がありません。でも、なにをｘと置くかというのはそれ以前の問題としてあります。

例えば『妹が、家から駅に向かって出発し、その９分後に姉が家を出て妹を追いかけました。妹は分速７５ｍで歩き、姉は分速９０ｍで歩きます。姉は出発してから何分後に妹に追いつくでしょうか？』
という問題のとき、わたしは「追いつく」という言葉にすごくひっかかってしまって、追いつくなんてことを方程式では表せないよな…となってしまうんですね。図を描けば…とも思いますが、本当にどうすればよいか分からないときは図なんて逆に描けないんです。図はある程度何かひらめきがあるから描けるのではないかなと思います。

この問題の場合だと（き・は・じ）から考えて『距離』ぐらいしか式はつくれないかな？となって、なんとか式を作っていきます。９分という時間差が式を作るときにポイントになるのだと思いますが、これも妹と姉のどちらの式に入れたらよいのか考えても分からないのですね。

答えを見ると、７５×（ｘ+９）＝９０ｘ と書いてあり、ああ妹のほうに足すのか…となり、それに（ ）でくくるなんて思いつかないな…とさらにプラスで落ち込みます。

同じことを２通りにして＝で結ぶことを、「追いつく」としているのかな？と半日ぐらいしてなんとなく感じるようになりましたが。

日本語の文章というものがすごく「うっとうしく」感じてしまって悲しくなります。文章題が出たときに、ザックリ、サッパリ文章の飾りの部分を削いでしまう方法ってないのでしょうか？この問題の場合であれば、「追いつく」という表現じゃなくて、結局それは「●●●●」だね、というような言い換えはパッと思い浮かぶようになるものなのでしょうか。または、そんなこと思い浮かべもせず出来てしまうものなのでしょうか。