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1つ目の質問ですが高校数学の必修範囲ではないので外積を使わなくてもできますが、使って解くこともできます。
ベクトルの外積は掛けた2つのベクトルに対して垂直方向のベクトルをつくります。
(四面体とか四角錐とかではなく立体の「高さ」にあたる垂直なベクトルが作れる)
したがって底面上のベクトル(例えばOA,OB)の外積を取れば、底面OADBに垂直なベクトルとなります。
点Cを通りこれと平行なベクトルを書いて底面との交点を計算することで「高さ」がわかるので体積が計算できます。
補足(ベクトルの矢印省略しています)
外積を使わない解法として
Cから下ろした垂線の足をXとして
OX=sOA+tOB (s,t実数)
とおき、CXベクトルもsとtを使った座標で書けるので
CXとOA,OBとの垂直(内積が0)の連立方程式でXの座標が求まり、高さCXがわかると思います。



2つ目の質問ですが、外積の答え方のみがそのように限定されるのではありません。

(11,-1,7)
のようにベクトルの成分を表現するのに横に並べてカンマを挟むのは、確かに世俗的ではありますが、この形式での計算はあまり好まれていないと感じます。

ベクトルは本来は列ベクトルで表されたり、単位ベクトルの線形結合で表されます。この列ベクトルとは1次の行列のことなのですが転置を取れば行ベクトルとなります。例えば実ベクトルの内積はしばしば行ベクトルと列ベクトルの積で表されます。

私は行ベクトルをカンマを挟んで表現するのを今まで見たことがありませんし、行ベクトルをそのように表記するなどと書かれた教科書に出逢った頃がありません。そのためカンマを挟んで成分を表現するのは行列形式ではなく、単に成分を書き並べただけだと考えています。

そのため外積に限らず計算途中にカンマを用いるのは望ましくないと考えています。例えばベクトル(1,3),(2,5)の内積を
(1,3)・(2,5)
と書くのはよろしくありません。間違いではありませんが私は気持ち悪いと感じます。

正しく
(1 3) (2)
ㅤㅤㅤ(5)
であれば問題ありません。

外積について。例えばベクトル(1,3,2),(2,1,3)の外積について
|1ㅤ3ㅤ2|
|2ㅤ1ㅤ3|
|e₁ e₂ e₃|
と形式的に行列式の計算として書けば、
=7e₁-e₂-5e₃
=(7,1,5)
となります。途中の[e₁,e₂,e₃]は基底としてします。

高校数学ベクトル外積です。
この問題の(3)って外積を使って解けますかね？
あんまりしっかり外積を理解できていません……
やろうとしたらなんか上手くいかなくてそもそも外積が使えるのは4面体で4角錐は使えないんですかね？

あと、外積の答えの書き方ですが
カンマなしで、
縦に数字を並べる書き方でないと不正解ですか？


例えば(11,-1,7)のような書き方だと誤りですか？