数学言語

(x-1)f'(f)=2f(x)+8

①普通に解きます。

最高次数をn($x^n$)とする
左辺の最高次数=n($x^n$)
左辺の最高次数=2($x^n$)
∴n=2
∴f(x)=x$^2+$bx+cとおく
(x-1)(2x+b)=2($x^2$+bx+c)+8
2$x^2$+(b-2)x-b=$2x^2$+2bx+2c+8
b-2a=2b,-b=2c+8
解いて終わり

②(x-1)f'(f)=2f(x)+8
(x-1)dy/dx=2y+8
dy/(2y+8)=dx/(x-1)
1/2log(y+4)=log(x-1)+c
log(y+4)=2log(x-1)+c
y+4=$(x-1)^2$+c
y=$(x-1)^2$+c
y'=2(x-1)

2(x-1)(x-1)=2((x-1)^2+c)+8
(x-1)(x-1)=$(x-1)^2$+c+4
∴c=-4
y=$(x-1)^2$-4

この問題の考え方が分かりません。よろしくお願いいたします。