数学言語

背理法で証明できない命題は存在しないです。(他にもっと簡単な証明方法がある命題は多数存在しますけどね)

そもそも数学では、命題Pがあるとき、それが真か偽のどちらかしかありません。なので、PかPでないのどちらかは必ず正しいことになります。

質問者さんはおそらく、命題と問題が混ざってしまっていると思います。

問題では、〜を証明せよ。のように問いの命題が真であるとして、その証明を求めています。なので、(ほとんどないとは思いますが)命題が実は偽だった場合、論理的に破綻していると感じるかもしれないです。

挙げられている例を詳しく書くと

「x^2=-1 となるxが存在する ならば xは有理数(無理数)である」を示せ

となります。この問題は命題は偽なのに、真を証明させているパターンです。

あとこの問いではxが実数なのか、複素数なのかも決めていないので、余計混乱すると思います。

例を PならばQである とした時に

複素数の場合
Pは真、Qは偽。よってPならばQは偽になります。否定をとると
PならばQの否定「xは有理数でない」
はx=iは有理数でないので、正しいです。

実数の場合
Pは偽です。よって、PならばQ、という命題はQが真でも偽でも、真になります。(ここが難しいところです)
なので、PならばQでない、も真になるので背理法でも間違った結果にはなりません。


少し長くなってしまいましたが、

> 背理法は、数学の無矛盾性(？)のようなものを前提としているのでしょうか？

という問いに対しては

PとPでない、は「どちらかが正しくて、どちらかは間違っている」を前提としている。

になりますね。解決できたら幸いです。

数学 背理法について。
当方、数ヶ月前から高校数学を勉強し始めたばかりの初学者です。現在2Bの途中ほどまで進んでおります。背理法について判然としない部分があるのですが、背理法は、数学の無矛盾性(？)のようなものを前提としているのでしょうか？

ある数が有理数であることを証明するためには、その数を無理数だと仮定してその矛盾を示せばよいわけですが、そこでは、全ての数がA(有理数)とA'(無理数)に属しているという大前提が要請されているように思えます。

しかしたとえば、x²=-1となるようなxについて、このxが有理数か無理数か示せ、という命題を(問題設定がおかしくはありますが、)背理法で示そうとすれば、それを有理数としても無理数としても矛盾が発生してしまいます。

この命題のほかにも、このような(論理的に破綻している)命題が存在する恐れはないのでしょうか？ 与えられた命題が論理的に破綻していないかを確認せずに背理法を用いることに危険性はないのでしょうか？

とはいえ、上記のような(複素数を実数の範囲で分類するというような)極端なもの以外には論理的に破綻する例も思い浮かびません。たとえば「√2が無理数であることを証明せよ」という命題において「二乗して正の数になるから虚数ではなく、有理数か無理数のどちらかに分類される」ということはほとんど自明でありますから、素直に背理法に持ち込んでも問題がないように思えます。であれば、命題そのものの吟味のようなものは、ほとんど自明であるというだけで明確に要請されてはいるのでしょうか？

いささか冗長になってしまいましたが、お聞きしたいことは、背理法の論理的な強度というか、どこまでを自明と扱ってよいのかといったところです。

質問自体がいまいちパッとしておらず恐縮ではありますが、この質問者はこの部分を勘違いしているのではないか、と思われた点がありましたら、どうかご指摘をお願い致します。