数学言語

定理の証明は簡単そうなのだけ
覚えればよいとおもいます。
(教科書や参考書で触れているもの)

旧帝クラスでは公式の証明(過去に東大で余弦定理、阪大で数3の極限公式の証明、点と直線の距離の公式)
がちょこちょこ出されましたが、正直定理の証明が難しい部類かと言われるとそういうものでも無いので
教科書に書いてあるくらいの証明だけ覚えてれば良いと思います。

地方医学部だと他学部共通かそうでないかが大学によって変わると思われますので
過去20年くらい見てそういうのが出される気配が無いのなら、受験勉強という観点からみたら特段そこに限って勉強するより、普通の問題や、他の科目に時間を割いた方がいいと思います。
共通の比率が高いところが多いと思われますのでそこをまずは重点的にしましょう。

なぜその定理が成り立つのか、そもそもどういう定義づけがおこなわれているのか
というのは大学の数学科や情報の統計系のひとたち
がやることですので、興味があったら大学はいってからやればいいと思います。

大学受験をするにあたって、正弦定理や余弦定理を例に挙げるとして、定理の理屈や目的まで徹底的に覚える必要はありそうですか？
徹底的にというのは、例えば、何でa/sina＝2rが成り立つの？と聞かれた時に上手く説明できるレベルです。
私はできません。ただ公式に当てはめているだけです。
もちろん覚えたら良いに越したことは無いと思うのですが、数学の研究者になるのが目的ではないですし、時間も有限なので、必要以上の学力については、今はつける余裕がないかなという感じです。

到達点としては地方国立医学部に合格できるレベルです。