数学言語

ゲスト さんが書きました:
> 以下の3つの問題のii HV ii cc u in mm jh Hulk BB hi
. mm mm mmm mmm mm min bnj in\nsupseteq\mathtt{?}\mathsf{?}解答解説を作成してください
> （１）756の正の約数、その総和の求め方を教えてください。
>
> \nsubseteqq
> （２）正の整数Nは約数の個数が3で、約数の総和が57になるy to cc nhi y in an uynという。
> Nを求めてください。
>
> （３）３００以下の自然数のうち正の約数が9個である数の個数を求めていただけないでしょうか。
\ngeqq\tag{?}\jiju yuu ju uu na uhh no JJ \begin{cases}
A & B\\
C & D
\end{cases}

（１）①756=2^2•3^3•7より
奇数の約数の総和は
$(1+3+3^2+3^3)(1+7)$
=(1+3+9+27)•8
=320
一方で756の約数の総和は
(1+2+4)(1+3+9+27)(1+7)
=7×40×8
=2240なので、

2240-320=1920

② 20=2^2×5^1であるから20は素因数2と5をもつ。その倍数で約数が15個となるのは15=5×3=3×5より、
$2^4×5^2か2^2×5^4$
したがって400と2500




（２）正の約数が３個ということなので
1とNの他に約数を1個持たない数はn²(nは素数)であるので
n²+n+1=57
n²+n-56=0
(n+8)(n-7)=0
よってn=7
N=n²=49




（３）9=3×3であり、これ以外に整数の積で表すことはできない。

したがって、約数が9個の自然数nを素因数分解したときのパターンは

①$n=a^8$
②$n=a^2×b^2$

の２通りが考えられる。
ただし、b>a>1かつa,bは素数…(※)

①の場合
nは300以下なので、これを満たすnはa=2のときで256のみ

②の場合
a=2のときn≦300より
$4b^2$≦300
$b^2$≦75
これと(※)を満たすbは
3,5,7の３個

a=3のとき
$9b^2$≦300
$b^2$≦100/3
これと(※)を満たすbは５のみ

a≧4のとき
n≦300かつ(※)を満たすbは存在しない
(ほぼ明らかなので証明は省きます)

以上より②を満たすのは４個


①②を合わせて、求める値は５個

以下の3つの問題の解答解説を作成してください
（１）756の正の約数、その総和の求め方を教えてください。


（２）正の整数Nは約数の個数が3で、約数の総和が57になるという。
Nを求めてください。

（３）３００以下の自然数のうち正の約数が9個である数の個数を求めていただけないでしょうか。