数学言語

まず、(a+b+c)^3 位を考えると分かりやすいので、
それから始めます。

(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)
を全て展開することを考えます。
1 つの()のなかから a,b,c のどれかを選んだのに相当する量の項があります。
つまり、全部で 3*3*3=27 の項があります。
ただし、abc=bac のように、並び順を変えると同じになる項がありますので、
それらを1つにまとめてしまうと、
3個の中から重複を許して3個を取り出す、重複組み合わせとなり、
3H3 =(3+2)C3=10個の項しかありません。

今求めたいのは、このように積の順序を並べ替えして、
同じ項はまとめたときの係数です。
この係数を a^n b^m c^k と書いた時、係数は n, m, k を
使ってどう表せるでしょうか？
先に述べたように、a, b, c は3箇所の()のうちのどこかから出てきていて、
それを区別すれば、各文字がどこの()から出てきた文字かが区別できます。
たとえば、
a b c → a は最初の() b は2番目の() c は 3番目の()
c a b → c は最初の() a は2番目の() b は 3番目の()
といった具合になります。
つまり、求めたい係数は、a を n文字、 b を m 文字 c を k 文字用意して
文字列を作るとき、何通りの文字列ができるか？というのと同じ数になります。
したがって、
3!/(n! m! k!) ただし、n+m+k=3 というのが係数になります。

(a+b+c)^8 の場合、 () が 8 こあるので、
8! / (n! m! k!) ただし n+m+k=8 というのが答えになります。
答えは、8!/(3! 3! 2!)=560 となります。
下の人のこたえは、a がどこの()から出てきたかを決めたら、
b がどこの()から出てきたかを考えるときには、選択肢が減っている、
という事実を無視しているので間違いです。
正しくは、
8C3 (8-3)C3 (5-3)C2 = 56 * 10 * 1 = 560 となるはずです。

(a+b+c)^8の展開式におけるa^3b^2c^3の係数を求めよという問題ですが、解き方は分かったものの何故そうするのかが分かりません。
解き方は8C3*(a+b)^5*c^3・・①、(a+b)^5で5Cq*a^5-q*b^q・・②、1と２を計算して8C3*5C2*a^3b^2c^3より560。
分かりにくいですがこんな感じです。
どなたかよろしくお願いします。m(_ _)m