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cosとsinが混ざった関数では、基本的に以下の式を利用し統一します。
\begin{equation}
sin^2\theta+cos^2\theta=1
\end{equation}
今回はsinだけで表せられるので、以下のように式を変形代入します。
\begin{equation}
cos^2\theta=1-sin^2\theta
\end{equation}
より、
\begin{align}
y &=cos^2\theta+asin\theta\\
&=(1-sin^2\theta)+asin\theta\\
&=-sin^2\theta+asin\theta+1\\
\end{align}
このままだと少し見にくいので、以下のようにxとおきます。
\begin{equation}
sin\theta=x
\end{equation}
ここで、xとおいたのでxの範囲を確認してみましょう。
問題文より、そもそもθは以下の範囲にあります。
\begin{equation}
-\frac{\pi}{3}\leqq\theta\leqq\frac{\pi}{4}
\end{equation}
そのため添付①のように単位円を描くとsinθの値は以下のようになります。
\begin{equation}
-\frac{\pi}{3}\leqq\theta\leqq\frac{\pi}{4}
\end{equation}
ですのでsinθつまりxの範囲は以下のとおりです。
\begin{equation}
-\frac{\sqrt{3}}{2}\leqq x\leqq\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{equation}
そして関数はxを使うと下記のような式になります。
\begin{equation}
y=-x^2+ax+1
\end{equation}
ここまで来れば一般的な二次関数の問題ですね。
あとは平方完成して軸の場所で場合分けしていきます。
\begin{align}
y &=-x^2+ax+1\\
&=-(x^2-ax)+1\\
&=-(x-\frac{a}{2})^2+\frac{a^2}{4}+1\\
\end{align}

（１）
軸a/2<-√3/2つまりa<√3のとき
添付②のとおり、yはx=-√3/2で最大値をとります。そのときのyの値は次のとおりです。
\begin{align}
y &=-(\frac{\sqrt{3}}{2})^2-a\frac{\sqrt{3}}{2}+1\\
&=-\frac{3}{4}-a\frac{\sqrt{3}}{2}+1\\
&=-\frac{\sqrt{3}}{2}a+\frac{1}{4}\\
\end{align}

（２）
軸a/2が-√3/2≦a/2≦√2/2つまり-√3≦a≦√2のとき
添付③のとおりyはx=a/2で最大値をとります。そのときのyの値は次のとおりです。
\begin{align}
y &=-(\frac{a}{2}-\frac{a}{2})^2+\frac{a^2}{4}+1\\
&=\frac{a^2}{4}+1\\
\end{align}

（３）
軸a/2が√2/2<a/2つまり√2<aのとき
添付は省略しますが上記と同じように考えて、yはx=√2/2で最大値をとります。そのときのyの値は次のとおりです。
\begin{align}
y &=-(\frac{\sqrt{2}}{2})^2+a\frac{\sqrt{2}}{2}+1\\
&=-\frac{1}{2}+a\frac{\sqrt{2}}{2}+1\\
&=\frac{\sqrt{2}}{2}a+\frac{1}{2}\\
\end{align}

よって（１）〜（３）をまとめると解は以下のようになります。
\begin{equation}
a<√3のとき
y=-\frac{\sqrt{3}}{2}a+\frac{1}{4}
\end{equation}
\begin{equation}
-√3≦a≦√2のとき
y=\frac{a^2}{4}+1
\end{equation}
\begin{equation}
√2<aのとき
y=\frac{\sqrt{2}}{2}a+\frac{1}{2}
\end{equation}

sinθをxとおいて二次関数のように解くイメージはあるのですが、範囲とかどうやって決めたらいいかわかりません。
詳しく教えてもらいたいです。