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P(-p,p²)、p>0とするとT(-p,0)
円Pの方程式は、(x+p)²+(y-p²)²=p⁴
x=0とすると、(y-p²)²=p⁴-p²
円Pとy軸の交点が2個あるから、1<p
このとき、y=p²±p√(p²-1)
よって、Q(0,p²+p√(p²-1))、R(0,p²-p√(p²-1))
直線PQの方程式は、
y-p²=√(p²-1)(x+p)
よって、y=√(p²-1)x+p²+p√(p²-1)
y=0とすると、x=-p²/√(p²-1)-p
よって、A(-p²/√(p²-1)-p,0)
x²=√(p²-1)x+p²+p√(p²-1)を解くと、
x=-p、p+√(p²-1)
よって、B(p+√(p²-1),2p²-1+2p√(p²-1)
AP:PB=4:5より、
p²:(p²-1+2p√(p²-1))=4:5
5p²=4(p²-1+2p√(p²-1))
p²+4=8p√(p²-1)
p>1より両辺正だから2乗して
(p²+4)²=64p²(p²-1)
p⁴+8p²+16=64p⁴-64p²
63p⁴-72p²-16=0
(3p²-4)(21p²+4)=0
p>1より、p=2/√3
R(0,p²-p√(p²-1))より、Rの座標は(0,2/3)

座標平面上の放物線y=x²上に、x座標が負である点Pをとる。
Pを中心としてx軸と点Tで接する円Pを描く。
円Pとy軸との交点のうち、y座標が大きいものから順に点Q,Rとする。
直線PQと円Pとの交点のうち、x座標が小さい方をSとする。
また、直線PQとx軸との交点を点A、放物線との交点のうちPでない方をBとするとAP:PB=4:5となった。
点Rの座標を求めてください。