数学言語

高校ベクトルの内積について。
|a||b|cosθ という定義が、成分の積の和 a₁b₁+a₂b₂ と同値で同じ値になるということの感覚の沿った合理的な説明が知りたいです。
証明は、それぞれベクトルの成分を文字で置いて式変形すれば得られますが、間には二乗の展開など少々複雑な計算を伴うものであり、それが結果的に a₁b₁+a₂b₂ という綺麗な形に落ち着くことの保証はなく、あくまで得られたラッキーな結果に過ぎません。
成分同士を掛けて足し合わせるということが、それぞれのベクトルの長さの積に間の角の余弦をかけること(言い換えれば片方のみのベクトルの方向についての成分の積)と、どう関係しているんでしょうか。
あと、内積を定義することによって、ベクトル計算の分配法則が成り立つと聞いたことがあるのですが、それについても教えていただきたいです。よろしくお願いいたします。