数学言語

$ \lim_{n \to \infty}\sin{x}$が-1と1の間を行ったり来たりして有限の値に定まらないからです。

教科書に公式として載っている
lim x→∞ (sinx/x)を求める時、はさみうちを使わないといけないのは何故ですか？
分子のsinxが極限値を持たないというのは分かりますが、その範囲は-1から1であって、全体の極限値はどう考えても0に寄っていくだろうと思ってしまうのですが…
多分数学的に難しい話が出てくるとは思うのですが、ざっくりでも教えて欲しいです。どなたか解答をよろしくお願いいたします。大学範囲が出てきても構いません。図などもあると助かります。