数学言語

(2)
$Y_nが8で割り切れないのは$
(a)全部奇数
(b)4がなく、2が1か2回出たとき
(c)4が1回、後は奇数
の3パターンです。

(a)
$1または3のカードがn回出るから2^n通り$
(b)
$2が1回、他は奇数 \cdots nC_1 \cdot 2^{n-1}=n \cdot 2^{n-1}$
$2が2回、他は奇数 \cdots nC_2 \cdot 2^{n-2}=\frac{n(n-1)}{2} \cdot 2^{n-2}$
(c)
$4が1回、他は奇数 \cdots n \cdot 2^{n-1} $
よって、求める確率は
\[ 1-\frac{2^n+n \cdot ...

(1)
（１）$X_n≦n+3$となるという場合は、$n$枚のカードが
①全部１だった場合。
②１枚だけ２～４のどれかで、あとは全部１だった場合
③２枚だけ２が出て、あとは全部１だった場合
④１枚だけ２，１枚だけ３で、あとは全部１だった場合
⑤３枚だけ２で、あとは全部１だった場合
しかありません。

そこで、それぞれのケースが何通りあるか調べます。
①は当然１通り
②は、ｎ回の中でどこか１回２～４が出てくるケースなので、$3n$通り
③は、$nC_2=\frac{n(n-1)}{2}$通り
④は、$n(n-1)$通り（$2と3$の順番が逆であれば別に数えるので③と違って２で割らない。）
⑤は ...

図を忘れていました

3個の赤玉を$r_1,r_2,r_3$
2個の白球を$w_1,w_2$
これら5個の玉から2個の玉を取り出す方法は樹形図より10通り
そのうち、1個が赤玉、1個が白玉となる組み合わせは6通り
よって
\[ \frac{6}{10}=\frac{3}{5}\]
中学校の範囲では必ず樹形図などで数えるようにしましょう。
かけて確率を求める方法は高校で学びます。

すみません。画像が荒くて見にくいのでどこに極限を飛ばしているか
文章で書いていただけないでしょうか。

「漸化式の文章題について」https://www.mathlang.com/viewtopic.php?t=55で図を添付したのですが
生徒には見えてないようですがどうしますか？

合同・相似の証明ではまず等しいと思われる辺や角を調べてみて、
合同や相似条件が成立ちそうなら仮定（使っていいこと）より合同
・相似条件を満たしているかどうかを確認して結論（示したいこと）を
述べましょう。

「仮定より」を使うのは合同、相似条件の一部が既に問題文で示されている
ときです。例えば、$\Delta ABC \equiv \Delta DEF$ を示せと言われて、問題文に$AB=DE$ とあったら 「仮定より $AB=DE$」 と使います。それ以外はあまり使わないです。

2次方程式 $ax^2+bx+c=0 (a \neq 0)$のとき、両辺を$a$で割ると
\[ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0 \]
移項して
\[ x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a} \]
ここで、左辺を$(x+□)^2 $の形にするため
両辺に $( \frac{b}{2a})^2 $を足す。

\[ x^2+\frac{b}{a}x+( \frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+( \frac{b}{2a})^2 \]
\[ (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2 ...

両方に入った人数を $x$, 天文台に入った人数を $y$ 人とする。
プラネタリウムのみに入った人数は $180-x$,
天文台のみに入った人数は $(y-x)$ 人である。
ここで、両方に入らなかった人は$10$人より
少なくとも一方に入った人数は
$180-x+x+y-x=250-10=240$
整理して $y-x=60 \cdots ①$
また支払った金額の合計について
$100 \times 250+400x+300(180-x)+200(y-x)=97500$
これを整理して $2y-x=185 \cdots ②$
①、②を解くと $x=65, y=125 ...