解答については前の方のとおりですが、私がやってる解き方をお教えしますと、
命題$P,Q$があったときに
$P ならば Q$
の反例は「$Pであり、Qでない$」ものとして求められます。
(1)でいうと「3の倍数であって、6の倍数でない」ものが該当し、
$3,9,\cdots$が反例となります。
検索結果 25 件
- 2025/1/05(日) 16:30:39
- フォーラム: 高校生用の質問
- トピック: 一橋大学の入試問題解説をお願いします。
- 返信数: 3
- 閲覧数: 333
Re: 一橋大学の入試問題解説をお願いします。
(2)
$Y_nが8で割り切れないのは$
(a)全部奇数
(b)4がなく、2が1か2回出たとき
(c)4が1回、後は奇数
の3パターンです。
(a)
$1または3のカードがn回出るから2^n通り$
(b)
$2が1回、他は奇数 \cdots nC_1 \cdot 2^{n-1}=n \cdot 2^{n-1}$
$2が2回、他は奇数 \cdots nC_2 \cdot 2^{n-2}=\frac{n(n-1)}{2} \cdot 2^{n-2}$
(c)
$4が1回、他は奇数 \cdots n \cdot 2^{n-1} $
よって、求める確率は
\[ 1-\frac{2^n+n \cdot ...
$Y_nが8で割り切れないのは$
(a)全部奇数
(b)4がなく、2が1か2回出たとき
(c)4が1回、後は奇数
の3パターンです。
(a)
$1または3のカードがn回出るから2^n通り$
(b)
$2が1回、他は奇数 \cdots nC_1 \cdot 2^{n-1}=n \cdot 2^{n-1}$
$2が2回、他は奇数 \cdots nC_2 \cdot 2^{n-2}=\frac{n(n-1)}{2} \cdot 2^{n-2}$
(c)
$4が1回、他は奇数 \cdots n \cdot 2^{n-1} $
よって、求める確率は
\[ 1-\frac{2^n+n \cdot ...
- 2025/1/05(日) 16:17:11
- フォーラム: 高校生用の質問
- トピック: 一橋大学の入試問題解説をお願いします。
- 返信数: 3
- 閲覧数: 333
Re: 一橋大学の入試問題解説をお願いします。
(1)
(1)$X_n≦n+3$となるという場合は、$n$枚のカードが
①全部1だった場合。
②1枚だけ2~4のどれかで、あとは全部1だった場合
③2枚だけ2が出て、あとは全部1だった場合
④1枚だけ2,1枚だけ3で、あとは全部1だった場合
⑤3枚だけ2で、あとは全部1だった場合
しかありません。
そこで、それぞれのケースが何通りあるか調べます。
①は当然1通り
②は、n回の中でどこか1回2~4が出てくるケースなので、$3n$通り
③は、$nC_2=\frac{n(n-1)}{2}$通り
④は、$n(n-1)$通り($2と3$の順番が逆であれば別に数えるので③と違って2で割らない。)
⑤は ...
(1)$X_n≦n+3$となるという場合は、$n$枚のカードが
①全部1だった場合。
②1枚だけ2~4のどれかで、あとは全部1だった場合
③2枚だけ2が出て、あとは全部1だった場合
④1枚だけ2,1枚だけ3で、あとは全部1だった場合
⑤3枚だけ2で、あとは全部1だった場合
しかありません。
そこで、それぞれのケースが何通りあるか調べます。
①は当然1通り
②は、n回の中でどこか1回2~4が出てくるケースなので、$3n$通り
③は、$nC_2=\frac{n(n-1)}{2}$通り
④は、$n(n-1)$通り($2と3$の順番が逆であれば別に数えるので③と違って2で割らない。)
⑤は ...
Re: 確率の基本問題です
3個の赤玉を$r_1,r_2,r_3$
2個の白球を$w_1,w_2$
これら5個の玉から2個の玉を取り出す方法は樹形図より10通り
そのうち、1個が赤玉、1個が白玉となる組み合わせは6通り
よって
\[ \frac{6}{10}=\frac{3}{5}\]
中学校の範囲では必ず樹形図などで数えるようにしましょう。
かけて確率を求める方法は高校で学びます。
2個の白球を$w_1,w_2$
これら5個の玉から2個の玉を取り出す方法は樹形図より10通り
そのうち、1個が赤玉、1個が白玉となる組み合わせは6通り
よって
\[ \frac{6}{10}=\frac{3}{5}\]
中学校の範囲では必ず樹形図などで数えるようにしましょう。
かけて確率を求める方法は高校で学びます。
- 2025/1/01(水) 11:58:01
- フォーラム: 高校生用の質問
- トピック: 三角関数の基礎問題の解説をお願いします。
- 返信数: 2
- 閲覧数: 303
Re: 三角関数の基礎問題の解説をお願いします。
すみません。画像が荒くて見にくいのでどこに極限を飛ばしているか
文章で書いていただけないでしょうか。
文章で書いていただけないでしょうか。
- 2024/12/28(土) 15:40:17
- フォーラム: ご意見・ご要望・不具合報告
- トピック: 生徒の図の閲覧について
- 返信数: 1
- 閲覧数: 11369
生徒の図の閲覧について
「漸化式の文章題について」https://www.mathlang.com/viewtopic.php?t=55で図を添付したのですが
生徒には見えてないようですがどうしますか?
生徒には見えてないようですがどうしますか?
Re: 図形の照明問題
「仮定より」を使うのは合同、相似条件の一部が既に問題文で示されている
ときです。例えば、$\Delta ABC \equiv \Delta DEF$ を示せと言われて、問題文に$AB=DE$ とあったら 「仮定より $AB=DE$」 と使います。それ以外はあまり使わないです。
ときです。例えば、$\Delta ABC \equiv \Delta DEF$ を示せと言われて、問題文に$AB=DE$ とあったら 「仮定より $AB=DE$」 と使います。それ以外はあまり使わないです。
- 2024/12/18(水) 13:49:54
- フォーラム: 中学生用の質問
- トピック: 二次方程式の解の公式について
- 返信数: 2
- 閲覧数: 644
Re: 二次方程式の解の公式について
2次方程式 $ax^2+bx+c=0 (a \neq 0)$のとき、両辺を$a$で割ると
\[ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0 \]
移項して
\[ x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a} \]
ここで、左辺を$(x+□)^2 $の形にするため
両辺に $( \frac{b}{2a})^2 $を足す。
\[ x^2+\frac{b}{a}x+( \frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+( \frac{b}{2a})^2 \]
\[ (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2 ...
\[ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0 \]
移項して
\[ x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a} \]
ここで、左辺を$(x+□)^2 $の形にするため
両辺に $( \frac{b}{2a})^2 $を足す。
\[ x^2+\frac{b}{a}x+( \frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+( \frac{b}{2a})^2 \]
\[ (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2 ...
- 2024/12/18(水) 13:24:03
- フォーラム: 中学生用の質問
- トピック: 方程式の応答問題について
- 返信数: 2
- 閲覧数: 607
Re: 方程式の応答問題について
両方に入った人数を $x$, 天文台に入った人数を $y$ 人とする。
プラネタリウムのみに入った人数は $180-x$,
天文台のみに入った人数は $(y-x)$ 人である。
ここで、両方に入らなかった人は$10$人より
少なくとも一方に入った人数は
$180-x+x+y-x=250-10=240$
整理して $y-x=60 \cdots ①$
また支払った金額の合計について
$100 \times 250+400x+300(180-x)+200(y-x)=97500$
これを整理して $2y-x=185 \cdots ②$
①、②を解くと $x=65, y=125 ...
プラネタリウムのみに入った人数は $180-x$,
天文台のみに入った人数は $(y-x)$ 人である。
ここで、両方に入らなかった人は$10$人より
少なくとも一方に入った人数は
$180-x+x+y-x=250-10=240$
整理して $y-x=60 \cdots ①$
また支払った金額の合計について
$100 \times 250+400x+300(180-x)+200(y-x)=97500$
これを整理して $2y-x=185 \cdots ②$
①、②を解くと $x=65, y=125 ...
- 2024/12/18(水) 11:10:55
- フォーラム: 高校生用の質問
- トピック: 楕円の方程式について
- 返信数: 2
- 閲覧数: 356
Re: 楕円の方程式について
焦点からの距離の和が$10$だから
$2a=10$
$a=5$
焦点の$x$座標の絶対値が$3$より
$\sqrt{5^2-b^2}=3 よって b=4$
求める方程式は
\[ \frac{x^2}{25}+\frac{(y-1)^2}{16}=1 \]
$2a=10$
$a=5$
焦点の$x$座標の絶対値が$3$より
$\sqrt{5^2-b^2}=3 よって b=4$
求める方程式は
\[ \frac{x^2}{25}+\frac{(y-1)^2}{16}=1 \]
- 2024/12/18(水) 10:57:47
- フォーラム: 高校生用の質問
- トピック: 平面ベクトルについて
- 返信数: 7
- 閲覧数: 701
Re: 平面ベクトルについて
頻出とは言えませんが、知っておくと有利にはなります。
- 2024/12/17(火) 11:10:18
- フォーラム: 中学生用の質問
- トピック: 連立方程式の利用について
- 返信数: 3
- 閲覧数: 749
Re: 連立方程式の利用について
3つの文字のうち最も消しやすい文字(状況によって異なる)を最初に消すと2つの文字の連立方程式に帰着します。
- 2024/12/16(月) 13:27:40
- フォーラム: 高校生用の質問
- トピック: 三角関数の極限について
- 返信数: 3
- 閲覧数: 417
Re: 三角関数の極限について2
このとき
\[ \frac{7(\cos{2x}-1)- x^2}{x^2 {(\sqrt{9-8x+7\cos{2x}}+(4-x))}} \]
\[ =\frac{7(\cos{2x}-1)}{x^2 {(\sqrt{9-8x+7\cos{2x}}+(4-x))}}- \frac{ x^2}{x^2 {(\sqrt{9-8x+7\cos{2x}}+(4-x))}} \]
\[ =\frac{7(\cos{2x}-1)(\cos{2x}+1)}{x^2 {(\sqrt{9-8x+7\cos{2x}}+(4-x))(\cos{2x}+1)}}- \frac{ 1}{{\sqrt{9-8x+7 ...
\[ \frac{7(\cos{2x}-1)- x^2}{x^2 {(\sqrt{9-8x+7\cos{2x}}+(4-x))}} \]
\[ =\frac{7(\cos{2x}-1)}{x^2 {(\sqrt{9-8x+7\cos{2x}}+(4-x))}}- \frac{ x^2}{x^2 {(\sqrt{9-8x+7\cos{2x}}+(4-x))}} \]
\[ =\frac{7(\cos{2x}-1)(\cos{2x}+1)}{x^2 {(\sqrt{9-8x+7\cos{2x}}+(4-x))(\cos{2x}+1)}}- \frac{ 1}{{\sqrt{9-8x+7 ...
- 2024/12/16(月) 13:10:44
- フォーラム: 高校生用の質問
- トピック: 三角関数の極限について
- 返信数: 3
- 閲覧数: 417
Re: 三角関数の極限について1
\[ \lim_{x \to 0} (\sqrt{9-8x+7\cos{2x}}-(a+bx) )=0 \]
より $4-a=0$
したがって $a=4$
\[ \frac{\sqrt{9-8x+7\cos{2x}}-(4+bx)}{x^2}=\frac{(\sqrt{9-8x+7\cos{2x}}-(4+bx))(\sqrt{9-8x+7\cos{2x}}+(4+bx))}{x^2 {(\sqrt{9-8x+7\cos{2x}}+(4+bx))}} \]
\[ =\frac{9-8x+2\cos{2x}-(4+bx)^2}{x^2 {(\sqrt{9-8x+7\cos{2x}}+(4 ...
より $4-a=0$
したがって $a=4$
\[ \frac{\sqrt{9-8x+7\cos{2x}}-(4+bx)}{x^2}=\frac{(\sqrt{9-8x+7\cos{2x}}-(4+bx))(\sqrt{9-8x+7\cos{2x}}+(4+bx))}{x^2 {(\sqrt{9-8x+7\cos{2x}}+(4+bx))}} \]
\[ =\frac{9-8x+2\cos{2x}-(4+bx)^2}{x^2 {(\sqrt{9-8x+7\cos{2x}}+(4 ...
Re: 三角関数について
その条件だと合成では $\theta$ を求められないと思います。
Re: 方程式について
つづき
$x=11$を代入してコインの枚数は
$5 \times 11+16=71 $枚
$x=11$を代入してコインの枚数は
$5 \times 11+16=71 $枚
Re: 群数列について
$6$行目ですが $n$ではなく$11$です
Re: 群数列について
第n群の項数は2n-1だから末項までの項数は
\[ \frac{n(1+2n-1)}{2}=n^2 \]
第120項が第n群にあるとき
$(n-1)^2 <120\leqq n^2$
これを満たす自然数は $n$ =11
第 $n$ 群の項数は$2·11-1=21$
第121項が第11群の末項なので
第120項は第11群の第20項目である。
\[ \frac{n(1+2n-1)}{2}=n^2 \]
第120項が第n群にあるとき
$(n-1)^2 <120\leqq n^2$
これを満たす自然数は $n$ =11
第 $n$ 群の項数は$2·11-1=21$
第121項が第11群の末項なので
第120項は第11群の第20項目である。
- 2024/12/14(土) 13:18:54
- フォーラム: 中学生用の質問
- トピック: 直角三角形の合同について
- 返信数: 2
- 閲覧数: 595
Re: 直角三角形の合同について
等しいのが斜辺でないと等しい鋭角の位置によって直角三角形の形状が変わってしまうので斜辺が等しいという条件は必要です。
例えば、$90^{\circ}$と$60^{\circ}$を両端にもつ長さ2の辺を含む直角三角形と$90^{\circ}$と$30^{\circ}$を両端にもつ長さ2の辺を含む直角三角形を考えた場合、明らかに合同ではありません。(図は省略)
例えば、$90^{\circ}$と$60^{\circ}$を両端にもつ長さ2の辺を含む直角三角形と$90^{\circ}$と$30^{\circ}$を両端にもつ長さ2の辺を含む直角三角形を考えた場合、明らかに合同ではありません。(図は省略)
Re: 数学の質問
(2)余弦定理より
$a \cdot \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=c \cdot \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$
分母を払うと
$ a^2 (b^2+c^2-a^2)=c^2 (a^2+b^2-c^2) $
$ a^2 b^2 +a^2 c^2-a^4= a^2 c^2 +b^2 c^2-c^4 $
$(a^2-c^2)b^2=a^4-c^4=(a^2-c^2)(a^2+c^2) $
$(a^2-c^2)(b^2-a^2-c^2)=0 $
よって $a^2=c^2 $ または $b^2-a^2-c^2=0 $
すなわち $a=c $ または $b^2=a ...
$a \cdot \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=c \cdot \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$
分母を払うと
$ a^2 (b^2+c^2-a^2)=c^2 (a^2+b^2-c^2) $
$ a^2 b^2 +a^2 c^2-a^4= a^2 c^2 +b^2 c^2-c^4 $
$(a^2-c^2)b^2=a^4-c^4=(a^2-c^2)(a^2+c^2) $
$(a^2-c^2)(b^2-a^2-c^2)=0 $
よって $a^2=c^2 $ または $b^2-a^2-c^2=0 $
すなわち $a=c $ または $b^2=a ...
Re: 数学の質問
(1) $A+B+C=180^{\circ}$ より $A+B=180^{\circ}-C$
よって $\sin{(A+B)}=\sin{(180^{\circ}-C)}=\sin{C}$
したがって、与えられた式は
$\sin^{2}{A}+\sin^{2}{B}=\sin^{2}{C}$ ・・・①と書き換えることができる。
正弦定理から、$\bigtriangleup ABC $の外接円の半径を $R$ とすると
$\sin{A}=\frac{a}{2R}, \sin{B}=\frac{b}{2R}, \sin{C}=\frac{c}{2R}$
となるから①に代入すると
$ \left ...
よって $\sin{(A+B)}=\sin{(180^{\circ}-C)}=\sin{C}$
したがって、与えられた式は
$\sin^{2}{A}+\sin^{2}{B}=\sin^{2}{C}$ ・・・①と書き換えることができる。
正弦定理から、$\bigtriangleup ABC $の外接円の半径を $R$ とすると
$\sin{A}=\frac{a}{2R}, \sin{B}=\frac{b}{2R}, \sin{C}=\frac{c}{2R}$
となるから①に代入すると
$ \left ...
Re: 数学の質問
例えば、2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の 2解 $\alpha,\beta$ が実数 $k$ より小さくなる条件を求めよ。
という問題があったとき、判別式の条件は共通として、
($\alpha-k)+(\beta-k)<0$ と $\frac{\alpha+\beta}{2}<k $ は同値で
$x= \frac{\alpha+\beta}{2}$ は $f(x)=ax^2+bx+c$ の軸になるので軸の条件と同値になります。
さらに、最後の端点条件は$(差の積)>0$として表現できることが理由になります。
という問題があったとき、判別式の条件は共通として、
($\alpha-k)+(\beta-k)<0$ と $\frac{\alpha+\beta}{2}<k $ は同値で
$x= \frac{\alpha+\beta}{2}$ は $f(x)=ax^2+bx+c$ の軸になるので軸の条件と同値になります。
さらに、最後の端点条件は$(差の積)>0$として表現できることが理由になります。