数学言語

解答については前の方のとおりですが、私がやってる解き方をお教えしますと、
命題$P,Q$があったときに
$P\mathrm{な}\mathrm{ら}\mathrm{ば}Q$
の反例は「$P\mathrm{で}\mathrm{あ}\mathrm{り}、Q\mathrm{で}\mathrm{な}\mathrm{い}$」ものとして求められます。
(1)でいうと「3の倍数であって、6の倍数でない」ものが該当し、
$3,9,\cdots$が反例となります。

(2)
$Y_n\mathrm{が}8\mathrm{で}\mathrm{割}\mathrm{り}\mathrm{切}\mathrm{れ}\mathrm{な}\mathrm{い}\mathrm{の}\mathrm{は}$
(a)全部奇数
(b)4がなく、2が1か2回出たとき
(c)4が1回、後は奇数
の3パターンです。

(a)
$1\mathrm{ま}\mathrm{た}\mathrm{は}3\mathrm{の}\mathrm{カ}\mathrm{ー}\mathrm{ド}\mathrm{が}n\mathrm{回}\mathrm{出}\mathrm{る}\mathrm{か}\mathrm{ら}{2}^n\mathrm{通}\mathrm{り}$
(b)
$2\mathrm{が}1\mathrm{回}、\mathrm{他}\mathrm{は}\mathrm{奇}\mathrm{数}\cdots n{C}_1\cdot 2^{n-1}=n\cdot 2^{n-1}$
$2\mathrm{が}2\mathrm{回}、\mathrm{他}\mathrm{は}\mathrm{奇}\mathrm{数}\cdots n{C}_2\cdot 2^{n-2}=\frac{n(n-1)}{2}\cdot 2^{n-2}$
(c)
$4\mathrm{が}1\mathrm{回}、\mathrm{他}\mathrm{は}\mathrm{奇}\mathrm{数}\cdots n\cdot 2^{n-1}$
よって、求める確率は
\[ 1-\frac{2^n+n \cdot ...

(1)
（１）$X_n\leqq n+3$となるという場合は、$n$枚のカードが
①全部１だった場合。
②１枚だけ２～４のどれかで、あとは全部１だった場合
③２枚だけ２が出て、あとは全部１だった場合
④１枚だけ２，１枚だけ３で、あとは全部１だった場合
⑤３枚だけ２で、あとは全部１だった場合
しかありません。

そこで、それぞれのケースが何通りあるか調べます。
①は当然１通り
②は、ｎ回の中でどこか１回２～４が出てくるケースなので、$3n$通り
③は、$n{C}_2=\frac{n(n-1)}{2}$通り
④は、$n(n-1)$通り（$2\mathrm{と}3$の順番が逆であれば別に数えるので③と違って２で割らない。）
⑤は ...

図を忘れていました

3個の赤玉を$r_1,r_2,r_3$
2個の白球を$w_1,w_2$
これら5個の玉から2個の玉を取り出す方法は樹形図より10通り
そのうち、1個が赤玉、1個が白玉となる組み合わせは6通り
よって
$$\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$$
中学校の範囲では必ず樹形図などで数えるようにしましょう。
かけて確率を求める方法は高校で学びます。

すみません。画像が荒くて見にくいのでどこに極限を飛ばしているか
文章で書いていただけないでしょうか。

「漸化式の文章題について」https://www.mathlang.com/viewtopic.php?t=55で図を添付したのですが
生徒には見えてないようですがどうしますか？

合同・相似の証明ではまず等しいと思われる辺や角を調べてみて、
合同や相似条件が成立ちそうなら仮定（使っていいこと）より合同
・相似条件を満たしているかどうかを確認して結論（示したいこと）を
述べましょう。

「仮定より」を使うのは合同、相似条件の一部が既に問題文で示されている
ときです。例えば、$\mathrm{\Delta }ABC\equiv \mathrm{\Delta }DEF$ を示せと言われて、問題文に$AB=DE$ とあったら 「仮定より $AB=DE$」 と使います。それ以外はあまり使わないです。

2次方程式 $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$のとき、両辺を$a$で割ると
$$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$$
移項して
$$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$$
ここで、左辺を$(x+\square {)}^2$の形にするため
両辺に $(\frac{b}{2a}{)}^2$を足す。

$$x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a}{)}^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a}{)}^2$$
\[ (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2 ...

両方に入った人数を $x$, 天文台に入った人数を $y$ 人とする。
プラネタリウムのみに入った人数は $180-x$,
天文台のみに入った人数は $(y-x)$ 人である。
ここで、両方に入らなかった人は$10$人より
少なくとも一方に入った人数は
$180-x+x+y-x=250-10=240$
整理して $y-x=60\cdots \mathrm{①}$
また支払った金額の合計について
$100\times 250+400x+300(180-x)+200(y-x)=97500$
これを整理して $2y-x=185\cdots \mathrm{②}$
①、②を解くと $x=65, y=125 ...

焦点からの距離の和が$10$だから
$2a=10$
$a=5$
焦点の$x$座標の絶対値が$3$より
$\sqrt{5^2-b^2}=3\mathrm{よ}\mathrm{っ}\mathrm{て}b=4$
求める方程式は
$$\frac{x^2}{25}+\frac{(y-1{)}^2}{16}=1$$

頻出とは言えませんが、知っておくと有利にはなります。

3つの文字のうち最も消しやすい文字（状況によって異なる）を最初に消すと2つの文字の連立方程式に帰着します。

(1)のように $\sin$ が含まれる場合は正弦定理、
(2)のように $\cos$ が含まれる場合は余弦定理が使えるように
式を変形すると解きやすいです

このとき

$$\frac{7(\cos 2x-1)-x^2}{x^2(\sqrt{9-8x+7\cos 2x}+(4-x))}$$
$$=\frac{7(\cos 2x-1)}{x^2(\sqrt{9-8x+7\cos 2x}+(4-x))}-\frac{x^2}{x^2(\sqrt{9-8x+7\cos 2x}+(4-x))}$$
\[ =\frac{7(\cos{2x}-1)(\cos{2x}+1)}{x^2 {(\sqrt{9-8x+7\cos{2x}}+(4-x))(\cos{2x}+1)}}- \frac{ 1}{{\sqrt{9-8x+7 ...

$$\underset{x\to 0}{lim}(\sqrt{9-8x+7\cos 2x}-(a+bx))=0$$
より $4-a=0$
したがって $a=4$
$$\frac{\sqrt{9-8x+7\cos 2x}-(4+bx)}{x^2}=\frac{(\sqrt{9-8x+7\cos 2x}-(4+bx))(\sqrt{9-8x+7\cos 2x}+(4+bx))}{x^2(\sqrt{9-8x+7\cos 2x}+(4+bx))}$$

\[ =\frac{9-8x+2\cos{2x}-(4+bx)^2}{x^2 {(\sqrt{9-8x+7\cos{2x}}+(4 ...

その条件だと合成では $\theta$ を求められないと思います。

つづき
$x=11$を代入してコインの枚数は
$5\times 11+16=71$枚

$6$行目ですが $n$ではなく$11$です

第n群の項数は2n-1だから末項までの項数は
$$\frac{n(1+2n-1)}{2}=n^2$$
第120項が第n群にあるとき
$(n-1{)}^2<120\leqq n^2$
これを満たす自然数は $n$ =11
第 $n$ 群の項数は$2·11-1=21$
第121項が第11群の末項なので
第120項は第11群の第20項目である。

等しいのが斜辺でないと等しい鋭角の位置によって直角三角形の形状が変わってしまうので斜辺が等しいという条件は必要です。
例えば、${90}^{\circ }$と${60}^{\circ }$を両端にもつ長さ2の辺を含む直角三角形と${90}^{\circ }$と${30}^{\circ }$を両端にもつ長さ2の辺を含む直角三角形を考えた場合、明らかに合同ではありません。（図は省略）

(2)余弦定理より
$a\cdot \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=c\cdot \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$
分母を払うと
$a^2(b^2+c^2-a^2)=c^2(a^2+b^2-c^2)$
$a^2{b}^2+a^2{c}^2-a^4=a^2{c}^2+b^2{c}^2-c^4$
$(a^2-c^2)b^2=a^4-c^4=(a^2-c^2)(a^2+c^2)$
$(a^2-c^2)(b^2-a^2-c^2)=0$
よって $a^2=c^2$ または $b^2-a^2-c^2=0$
すなわち $a=c$ または $b^2=a ...

(1) $A+B+C={180}^{\circ }$ より $A+B={180}^{\circ }-C$
よって $\sin (A+B)=\sin ({180}^{\circ }-C)=\sin C$
したがって、与えられた式は
${\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B={\sin }^{2}C$ ・・・①と書き換えることができる。
正弦定理から、$△ABC$の外接円の半径を $R$ とすると
$\sin A=\frac{a}{2R},\sin B=\frac{b}{2R},\sin C=\frac{c}{2R}$
となるから①に代入すると
$ \left ...

例えば、2次方程式 $a{x}^2+bx+c=0$ の 2解 $\alpha ,\beta$ が実数 $k$ より小さくなる条件を求めよ。
という問題があったとき、判別式の条件は共通として、
($\alpha -k)+(\beta -k)<0$ と $\frac{\alpha +\beta }{2}<k$ は同値で
$x=\frac{\alpha +\beta }{2}$ は $f(x)=a{x}^2+bx+c$ の軸になるので軸の条件と同値になります。
さらに、最後の端点条件は$(\mathrm{差}\mathrm{の}\mathrm{積})>0$として表現できることが理由になります。