高校数学の数列について質問です。
漸化式から一般項を導く時、答えがただ一つしかないという保証はどこにあるのでしょうか。
もちろん、漸化式が等差数列や等比数列の形に帰着するものならば納得できます。
ただ、例えば漸化式から具体的に計算をし、一般項を推定し、数学的帰納法で証明する場合はどうでしょうか。
正しいと証明した一般項以外にも答えが存在するのではないか、本当に必要十分なのかと疑ってしまうのです。
どなたか回答してくださると幸いです。よろしくお願いいたします。
漸化式について
フォーラムルール
新規投稿は質問のみとさせていただきます。
新規投稿は質問のみとさせていただきます。
-
ゲスト
Re: 漸化式について
一意性の証明 ： $X_1 ＝ \alpha 、Ｘ_{ｎ＋1} ＝ Ｆ（ Ｘｎ ）$ となる数列 $｛ Ｘn ｝$ と
$Y_1 ＝ α 、Ｙｎ＋1 ＝ Ｆ（ Ｙｎ ）$ となる数列 $｛ Ｙn ｝$ を考える。
すべての自然数 $ｎ$ に対して、$Ｘn＝Ｙn $であることを数学的帰納法により示す。
$ｎ＝１$ のとき、$Ｘ_1 ＝ α、Ｙ_1 ＝ α$ より、$Ｘ_1＝Ｙ_1 $で、$ｎ＝１$ のとき成り立つ。
$ｎ＝ｋ$ （ $ｋ$ は任意の自然数）のとき成り立つと仮定する。： $Ｘ_ｋ＝Ｙ_ｋ$
このとき、$Ｆ（Ｘ_ｋ）＝Ｆ（Ｙ_ｋ）$ より、 $Ｘ_{ｋ＋1}＝Ｙ_{ｋ＋1}$
よって、$ｎ＝ｋ$ のときも成り立つ。
したがって、すべての自然数 $ｎ$ に対して、$Ｘ_n＝Ｙ_n $が成り立つ。
$Y_1 ＝ α 、Ｙｎ＋1 ＝ Ｆ（ Ｙｎ ）$ となる数列 $｛ Ｙn ｝$ を考える。
すべての自然数 $ｎ$ に対して、$Ｘn＝Ｙn $であることを数学的帰納法により示す。
$ｎ＝１$ のとき、$Ｘ_1 ＝ α、Ｙ_1 ＝ α$ より、$Ｘ_1＝Ｙ_1 $で、$ｎ＝１$ のとき成り立つ。
$ｎ＝ｋ$ （ $ｋ$ は任意の自然数）のとき成り立つと仮定する。： $Ｘ_ｋ＝Ｙ_ｋ$
このとき、$Ｆ（Ｘ_ｋ）＝Ｆ（Ｙ_ｋ）$ より、 $Ｘ_{ｋ＋1}＝Ｙ_{ｋ＋1}$
よって、$ｎ＝ｋ$ のときも成り立つ。
したがって、すべての自然数 $ｎ$ に対して、$Ｘ_n＝Ｙ_n $が成り立つ。