高校数学の問題です
年齢１のひとつの個体から始めて医科の操作a,bをn回行った後の全個体の年齢の合計をSnとする。
操作a 年齢１の各個体から年齢0の２個の個体を発生させる。
操作b 全個体の年齢をそれぞれ１増やす。
1 S4を求めよ
2 操作a,bをn回行った後の平均年齢をAnとすると、 An＜2となることを示せ。
数列の文章題です。
フォーラムルール
新規投稿は質問のみとさせていただきます。
新規投稿は質問のみとさせていただきます。
-
ゲスト
Re: 数列の文章題です。
1－a→1 0 0－b→2 1 1 ということでよろしいでしょうか
１．
操作a,bを1回やれば、1→2 1 1
2回目は 2 1 1→3 2 1 1 2 1 1=3 2 2 1 1 1 1
となりますね。
これから、n回目は1が 2^n個、2が 2^(n-1)個、
・・・、n+1が 1個できると推測できます。
よって S4＝1*2^4+2*2^(4-1)+3*2^(4-2)+4*2^(4-3)+5
16+16+12+8+5＝57
２．
１．よりSn＝Σ[k＝1～n+1]{k・2^(n-k+1)}
（等差数列と等比数列の積で表される数列の和ですね。
答えだけ書きますが、計算してみてください。）
Sn＝2^(n+2)-n-3
また、全個体数Nは 2^(n+1)-1
An＝Sn/N＝{2^(n+2)-n-3}/{(2^(n+1)-1}
＜{2^(n+2)-2}/{(2^(n+1)-1}＝2
１．
操作a,bを1回やれば、1→2 1 1
2回目は 2 1 1→3 2 1 1 2 1 1=3 2 2 1 1 1 1
となりますね。
これから、n回目は1が 2^n個、2が 2^(n-1)個、
・・・、n+1が 1個できると推測できます。
よって S4＝1*2^4+2*2^(4-1)+3*2^(4-2)+4*2^(4-3)+5
16+16+12+8+5＝57
２．
１．よりSn＝Σ[k＝1～n+1]{k・2^(n-k+1)}
（等差数列と等比数列の積で表される数列の和ですね。
答えだけ書きますが、計算してみてください。）
Sn＝2^(n+2)-n-3
また、全個体数Nは 2^(n+1)-1
An＝Sn/N＝{2^(n+2)-n-3}/{(2^(n+1)-1}
＜{2^(n+2)-2}/{(2^(n+1)-1}＝2