不等式について質問があります

[ゲスト]

不等式-3x<6x-1<4x+aを満たす整数xがちょうど2個になるようなaの範囲を求めてください。

不等式の基礎はわかっているつもりです。よろしくお願いいたします。

[ゲスト]

-3x<6x-1
1<9x
1/9<x............①

6x-1<4x+a
2x<a+1
x<(a+1)/2......②

①、➁を満たす整数が丁度二個より、
その整数は、
1/9<x<(a+1)/2
から、
x=1,2

x=2は、x<(a+1)/2を満たし、
x=3は、x<(a+1)/2を満たさない。

すなわち、
x=2は、x<(a+1)/2を満たし、
x=3は、x≧(a+1)/2を満たす。

2<(a+1)/2≦3
4<a+1≦6
3<a≦5..............(こたえ)

[ゲスト]

一度に複数の不等式を計算するのは難しいので、分けて考えてみましょう。

まず左と真ん中の式を整理するとこのようになります。
\begin{equation}
　-3x<6x-1
\end{equation}
\begin{equation}
-9x<-1
\end{equation}
\begin{equation}
　　　　　x>\frac{1}{9}・・・①
\end{equation}

次に真ん中と右の不等式を整理します。
\begin{equation}
6x-1<4x+a
\end{equation}
\begin{equation}
2x<a+1
\end{equation}
\begin{equation}
　　　　　x<\frac{a+1}{2}・・・②
\end{equation}

①と②を合わせるとxの範囲は次のようになります。
\begin{equation}
\frac{1}{9}<x<\frac{a+1}{2}
\end{equation}
図にすると添付1のようになります。

ここで整数xの個数が2個になるように(a+1)/2の範囲を書くと添付2のようになります。

ですので、(a+1)/2は2〜3の間にないと、整数xの個数は2個になりません。

これを式で書くとこのようになります。
\begin{equation}
2<\frac{a+1}{2}≦3・・・③
\end{equation}

ちなみに(a+1)/2が2だとxの範囲は1/9<x<2となり、整数xの個数が1個になるので、③の左の不等式は≦ではなく<を使います。

また(a+1)/2が3だとxの範囲は1/9<x<3となり整数xの個数は2個でOKとなります。ですので、③の右の不等式は<ではなく≦を使います。

よって、③の式を整理すると次のようになります。
\begin{equation}
2<\frac{a+1}{2}≦3
\end{equation}
\begin{equation}
4<a+1≦6
\end{equation}
\begin{equation}
3<a≦5
\end{equation}