漸化式の文章題について

[kouji]

数列（漸化式）の文章題です。教えてください。
平面上にn個の円があって、それらのどの2つの円も互いに交わり、3つ以上の円は1点で交わらない。これらn個の円が平面をa(n)個の部分に分けるとき、a(n)をnの式で表せ。

解答がありませんので、解説も書いていただけると助かります。よろしくお願いいたします。

[ゲスト]

図のように、円が3こある状態から赤い4個目の円を加えます。
すると、この円は他の円と2箇所ずつ、合計6箇所で交わります。
この交点を反時計回りに1,2,…,6とします。このとき、1-2,2-3,…,5-6の部分は閉じた領域（もともと円で囲まれていた領域）をそれぞれ2つに分け、6-1は開いた領域（無限に遠くに広がる領域=全ての円の外側にあった領域）から新たな一つの領域を作っています。

同様に、円がn個ある状態から$n+1$個目の円を加えたとき、交点は$2n$個で、それらによって分けられた$2n$個の円のうち$2n-1$個は1つの閉じた領域を2つに分け、1個は開いた領域から新たに1つの領域を作ります。
すなわち、新しく増える領域の数は$2n-1+1=2n$です。
よって$a_n$についての漸化式 $a_{n+1}=a_{n}+2n $が成り立ちます。

$a_1=2$とあわせてこの漸化式を解きます。
$a_{n+1}-a_{n}=2n$より、$ n \geq 2$　のとき
\[a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}2k=2+2 \cdot \frac{1}{2} (n-1)n=n^2-n+2 \]
これは$n=1$のときにも成り立つ。
よって$a_n=n^2-n+2$

[kouji]

解答ありがとうございます。よろしければ図も添付していただけると助かります。文章だけではイメージがつかめなくて、お手数ですが、よろしくお願いいたします。