対数の最高位の問題です

[ゲスト]

~対数の問題~

4^23+5^20の桁数と最高位の数を求めてください。ただし、log[10]2=0.301です。

解説をお願いしますm(__)mm(__)m

補足
最後こうなりますよね？
10¹⁴＜4²³+5²⁰＜2×10¹⁴
ここから、なぜ15桁であるとわかるのかが謎です。

[ゲスト]

常用対数を利用して4²³と5²⁰の桁数と最高位の数を求め、これに基づいて和の桁数や最高位の数を考えます。

log₁₀4²³=log₁₀(2²)²³=log₁₀2⁴⁶=46log₁₀2=46×0.301=13.846
log₁₀5²⁰=20log₁₀5=20log₁₀(10/2)=20(1-log₁₀2)=20(1-0.301)=13.98
とできるので、
13＜log₁₀4²³＜14、13＜log₁₀5²⁰＜14
であることから、4²³と5²⁰は共に14桁の整数であることが分かります。

ここで、5×10¹³（最高位の数が5である14桁の整数50000000000000）の常用対数を考えると、
log₁₀(5×10¹³)=log₁₀(10¹⁴÷2)=14-log₁₀2=14-0.301=13.699
となっています。

これにより、
log₁₀(5×10¹³)＜log₁₀4²³、log₁₀(5×10¹³)＜log₁₀5²⁰
であることが分かり、従って
5×10¹³＜4²³、5×10¹³＜5²⁰
となっていることが分かります。
これらの不等式の両辺を加えることで、
2×5×10¹³＜4²³+5²⁰⇔10¹⁴＜4²³+5²⁰…①
となります。

一方、log₁₀4²³＜14、log₁₀5²⁰＜14ですから、
4²³＜10¹⁴、5²⁰＜10¹⁴
が分かり、これらの不等式の両辺を加えることで、
4²³+5²⁰＜2×10¹⁴…②
であることが分かります。

よって、①と②から、4²³+5²⁰は15桁の整数であり、最高位の数は1であることが分かります。

《補足について》
最後に得られる不等式
10¹⁴＜4²³+5²⁰＜2×10¹⁴
について、両端の10¹⁴と2×10¹⁴が共に15桁の整数であるため、これらの間にある4²³+5²⁰も15桁の整数となります。

敢えて指数を使わずにこの不等式を書くと、
100000000000000＜4²³+5²⁰＜200000000000000
となり、15桁であることと最高位の数が1であることとが分かります。