関数の問題について教えてください

[ゲスト]

大問の中に(1)(2)と似たような式で問題が出されています。これは(1)の答えを(2)で利用しなさい、ということでしょうか？利用するなら、どうやって利用すれば良いのでしょうか？
グラフを書いて、それを使うのなら、ルートの中に絶対値があるこの(1)の関数のグラフは、どのように書けば良いのでしょうか？
特に急いではいないのですが、丁寧に教えていただければと存じます。よろしくお願いします。

[ゲスト]

そうですね、（１）の結果を（２）で利用すればわかりやすいです。
絶対値やルートなどが付いていますが、基本的には関数と、公転の問題であることを前提に解いていきましょう。

（１）
絶対値が出てきた場合は、原則場合分けをして解いていきます。
1)x>0のとき、下記のように符号はそのままで絶対値を外せます。
\begin{equation}
y=\sqrt{6x+3}
\end{equation}
どんなグラフかというと、下記の点を通ります。
\begin{equation}
x=0の時y=\sqrt{3}
\end{equation}
\begin{equation}
x=1の時y=3
\end{equation}
ここまででグラフにすると添付①のようになります。

2)x<0のとき、下記のように符号を変えて絶対値を外さなくてはなりません。
\begin{equation}
y=\sqrt{-6x+3}
\end{equation}
この関数もどのような点を取るのか具体的に値を求めてみましょう。
\begin{equation}
x=-1のときy=3
\end{equation}
\begin{equation}
x=-2のときy=\sqrt{15}
\end{equation}
1)のグラフに2)を加えると、全体的なグラフは添付②のようになります。

（２）
この方程式をそれぞれ関数で考えると、次のような関数の交点をあらわすことになります。
\begin{equation}
y=\sqrt{6|x|+3}
\end{equation}
\begin{equation}
y=x+2
\end{equation}
この式だけではよくわからないので、（１）の結果と合わせると、添付③のようにグラフ化できます。
それでは交点のx座標を求めていきましょう。
1)x>0のとき
\begin{equation}
\sqrt{6x+3}=x+2
\end{equation}
\begin{equation}
6x+3=(x+2)^2
\end{equation}
\begin{equation}
6x+3=x^2+4x+4
\end{equation}
\begin{equation}
x^2-2x+1=0
\end{equation}
\begin{equation}
(x-1)^2=0
\end{equation}
よってx=1

2)x<0のとき
\begin{equation}
\sqrt{-6x+3}=x+2
\end{equation}
\begin{equation}
-6x+3=(x+2)^2
\end{equation}
\begin{equation}
-6x+3=x^2+4x+4
\end{equation}
\begin{equation}
x^2+10x+1=0
\end{equation}
ここで解の公式を使います。
\begin{equation}
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\end{equation}
\begin{equation}
a = 1,\quad b = 10,\quad c = 1
\end{equation}
\begin{equation}
x = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}
\end{equation}
\begin{equation}
x = \frac{-10 \pm \sqrt{100 - 4}}{2}
\end{equation}
\begin{equation}
x = \frac{-10 \pm \sqrt{96}}{2}
\end{equation}
\begin{equation}
\sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6}
\end{equation}
\begin{equation}
x = \frac{-10 \pm 4\sqrt{6}}{2}
\end{equation}
\begin{equation}
x = -5 \pm 2\sqrt{6}
\end{equation}
ただしx<0ですので、
\begin{equation}
x = -5- 2\sqrt{6}
\end{equation}


したがって、答えは下記になります。
\begin{equation}
x=1,-5- 2\sqrt{6}
\end{equation}

[ゲスト]

すみません、一部間違えておりました。
問題文より下記の不等号が成立します。
\begin{equation}
x+2\geqq 0
\end{equation}

\begin{equation}
x\geqq -2
\end{equation}

よって、解は下記になります。

\begin{equation}
x =-1, -5+2\sqrt{6}
\end{equation}