ロピタルの定理について

[ゲスト]

ロピタルの定理について質問です。

ロピタルの定理は記述で書くのは避けるべきだと思いますが、現実的であるかなどは置いておくとして、理論上模試や大学入試本番で、
平均値の定理からコーシーの平均値の定理を証明し、さらにそれを用いてロピタルの定理を証明した場合は使用可能ですか。
そもそも、ロピタルの定理の使える条件がわからないので教えてください！具体例を出して説いていただければ折れしいです。よろしくお願いいたします。

[ゲスト]

ご指摘の通り、平均値の定理から辿ってロピタルの定理を証明を答案に書けばロピタルの定理
を使うことは可能です。

・ロピタルの定理を使える条件(有限値ver)
(Ⅰ) $f(x),g(x)$が$a$を含む開区間$I$で微分可能である.
(Ⅱ)
\[ \lim_{x \to a}f(x)=\lim_{x \to a}g(x)=0\]
である。
(Ⅲ)開区間$I$のうち$a$を除くすべての点で$ g^{\prime}(x) \neq 0$
(Ⅳ)極限値$ \lim_{x \to a}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}$が存在する
このとき $ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$も収束し
\[ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to a}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}\]

例
$f(x)=\sin{2x},g(x)=\sin{x}$ $(-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2})$とおくとこれは上の4条件を満たす。
したがって、ロピタルの定理から
\[ \lim_{x \to 0}\frac{\sin{2x}}{\sin{x}}=\lim_{x \to 0}\frac{-2\cos{2x}}{-\cos{x}}=2\]

また無限verとして
(Ⅰ) $f(x),g(x)$が適当な開区間$(M,\infty)$で微分可能である.
(Ⅱ)
\[ \lim_{x \to \infty}f(x)=\lim_{x \to \infty}g(x)=0\]
である。
(Ⅲ)$x>Mにおいて$ $ g^{\prime}(x) \neq 0$
(Ⅳ)極限値$ \lim_{x \to \infty}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}$が存在する
このとき $ \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}$も収束し
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to \infty}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}\]
が成り立ちます。