高校数学の数IIIの問題です。
複素数平面上に異なる3点z,z^2,z^3がある。
この3点が鋭角三角形の頂点となるようなzを全て求めよ。
この問題なんですが、鋭角三角形の成立条件を用いて解答を作っていったんですが、うまくいきませんでした。そこで解答を見てみると↓のような条件式が記述されていました。右辺は鋭角三角形の成立条件だとしても、赤線を引いた部分はどこから出てきたんでしょうか？また、これが鈍角三角形となる時の条件式はどうなるんでしょうか？どなたか教えてください。ご回答宜しくお願い致します。
複素数平面の応用問題について
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ゲスト
Re: 複素数平面の応用問題について
複素数平面では角に方向があり，-π～πの範囲で考えることにする。
マイナスなら時計回り，プラスなら反時計回り。
鋭角は-π/2～π/2 ということになる。
この鋭角に共通に言える性質は「実部が正」ということ。
そして，複素数zの実部は，(z+z⁻)/2 で表される。
…「⁻」は共役の「バー」…
角の表し方は何度もやっていることと思うが，
A(α)，B(β)，C(γ)とすると，
∠BAC=arg((γ-α)/(β-α))
この問題の場合，
A(z)，B(z²)，C(z³) とすると
∠BAC=arg((z³-z)/(z²-z))
=arg(z+1) …カッコ内 約分しただけです。
これが鋭角だから，z+1 の実部が正
つまり，(zの実部)>-1
∠ABC=arg((z³-z²)/(z-z²))
=arg(-z)
これが鋭角だから，-z の実部が正
つまり，(zの実部)<0
∠BCA=arg((z²-z³)/(z-z³))
=arg(z/(z+1))
これが鋭角だから，z/(z+1) の実部が正
ここで先ほど言った実部を表す式を使う。
z/(z+1) の実部は，
z/(z+1)+z⁻/(z⁻+1) を2で割ったもの。
それが正なので，2で割らなくても，
z/(z+1)+z⁻/(z⁻+1)>0
両辺に(z+1)(z⁻+1)をかけて，（かける数は実数でないとダメです）
z(z⁻+1)+z⁻(z+1)>0
2|z|²+z+z⁻>0
|z|²+z/2+z⁻/2+1/4>1/4
|z+1/2|²>(1/2)²
|z+1/2|>1/2
となります。最後の答えは同じです。
このように，
鋭角⇔実部正
実部=(z+z⁻)/2
を使えば，直接「鋭角」を言うことが出来るのです
マイナスなら時計回り，プラスなら反時計回り。
鋭角は-π/2～π/2 ということになる。
この鋭角に共通に言える性質は「実部が正」ということ。
そして，複素数zの実部は，(z+z⁻)/2 で表される。
…「⁻」は共役の「バー」…
角の表し方は何度もやっていることと思うが，
A(α)，B(β)，C(γ)とすると，
∠BAC=arg((γ-α)/(β-α))
この問題の場合，
A(z)，B(z²)，C(z³) とすると
∠BAC=arg((z³-z)/(z²-z))
=arg(z+1) …カッコ内 約分しただけです。
これが鋭角だから，z+1 の実部が正
つまり，(zの実部)>-1
∠ABC=arg((z³-z²)/(z-z²))
=arg(-z)
これが鋭角だから，-z の実部が正
つまり，(zの実部)<0
∠BCA=arg((z²-z³)/(z-z³))
=arg(z/(z+1))
これが鋭角だから，z/(z+1) の実部が正
ここで先ほど言った実部を表す式を使う。
z/(z+1) の実部は，
z/(z+1)+z⁻/(z⁻+1) を2で割ったもの。
それが正なので，2で割らなくても，
z/(z+1)+z⁻/(z⁻+1)>0
両辺に(z+1)(z⁻+1)をかけて，（かける数は実数でないとダメです）
z(z⁻+1)+z⁻(z+1)>0
2|z|²+z+z⁻>0
|z|²+z/2+z⁻/2+1/4>1/4
|z+1/2|²>(1/2)²
|z+1/2|>1/2
となります。最後の答えは同じです。
このように，
鋭角⇔実部正
実部=(z+z⁻)/2
を使えば，直接「鋭角」を言うことが出来るのです