確率漸化式の問題で詰まってしまいました、教えてください。

[ゲスト]

確率漸化式の問題で詰まってしまいました、教えてください。

さいころを投げて5以上の目が出たら2点を、4以下の目が出たら1点を得る。さいころをn回投げたときまでに得た点の合計が偶数である確率を求めよ。

[ゲスト]

漸化式と書いているのは大サービスです．この記述がなくても漸化式の発想が欲しいものです．

ということで
n回目までの合計が偶数である確率をP[n]
とすると
n回目までの合計が奇数である確率は1 -P[n]
となりますね．

さて，n回目からn+1回目に至る状況を考えると

P[n+1]
n回目が偶数→2点
確率(1/3)P[n]
n回目が奇数→1点
確率(2/3)(1 - P[n])

これらは互いに排反なので
P[n+1]=(1/3)P[n] + (2/3)(1 - P[n])
=-(1/3)P[n] + 2/3

後はこの漸化式を解くのみです．
P[n+1]=-(1/3)P[n] + 2/3
特性方程式
α=-α/3 + 2/3
を解くと
α=1/2
なので

P[n+1] - 1/2=-(1/3)(P[n] - 1/2)
と変形できます．

つまり{P[n+1] - 1/2}が
初項P[1] - 1/2=1/3 - 1/2=-1/6
公比(-1/3)
の等比数列なので
P[n] - 1/2=(-1/6)(-1/3)ⁿ⁻¹
=(1/2)(-1/3)ⁿ

従って

P[n]=(1/2) - (1/2)(-1/3)ⁿ…(答え)

となります．

解答のご確認をお願いします。