高校数字について質問します。
確率の最大値についてなのですが、問題集に下のような解説がついていたのですが、解説の意味がわかりません。馬鹿な僕にもわかるように解説をお願いします。不等式の意味も分かっていません。丁寧な解答をお願いします。
確率の最大値について
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ゲスト
Re: 確率の最大値について
見させていただきましたが、正直わかりにくいですね。
言いたいことはわかるけど、唐突というか、
いきなりこれを提示されても、運用のメリットがよくわからないですね…
この解説文が説明しようとしていることは、下記のとおりです。
すみませんが、長くなります。ご確認ください。
「サイコロを2個振って、出た目の合計がnとなるときの確率をp(n)」
というのがちょうど都合が良いので、
この具体例をイメージして読んでください。
ちなみにこのとき確率が最大となるnは n = 7で、p(n) = 1/6です。
n=7のときに確率が最大となるのですから、
n=6のときよりn=7のほうが確率は大きいわけで、p(6) < p(7)となります。
これは上記具体例に限った話ですが、
n=5のときよりn=6のほうが確率は大きく、p(5) < p(6)です。
同様に、n=4のときよりn=5のほうが確率は大きくて、p(4) < p(5)です。
まとめると
p(1) < p(2) < p(3) < p(4) < p(5) < p(6) < p(7)
です。p(2)は1/36だし、p(1)は0ですよね。
さて、逆に大きい側もp(7) > p(8)で、p(8)>p(9)といった感じで
p(7) > p(8) > p(9) > p(10) > p(11) > p(12)
となります。
全部まとめると
p(1) < p(2) < ... < p(6) < p(7) > p(8) > ... > p(11) > p(12)
となります。
今回の具体例の場合、p(n)について上記の不等式が成り立ちます。
これをグラフにしてみます。
横軸をn、縦軸をp(n)としてグラフを書いてみると、
一つの山ができます。
nに対してp(n)が今回の具体例の場合のように変化する、つまりグラフを
書いてみれば一つの山になるようなケースというのは多々あります。
高校数学でよくある確率の問題で、最大値が存在するようなものでは、
ほとんどこのケースにあてはまるだろう、という前提があるのです。
もちろんぜんぜん一般論ではでない話ですが。
先ほどの
p(1) < p(2) < ... < p(6) < p(7) > p(8) > ... > p(11) > p(12)
を一般的な書き方に直します。
まず最大値は7ではなく、参考書にあわせてNとします。
不等式は、今は＜としていますが、もう少し緩く、≦とします。
最後が12とは限らず不明なので、右側は最後まで書きません。
すると
(#) p(1)≦p(2)≦ ... ≦p(N-1)≦p(N)≧p(N+1)≧ ...
となります。（やっと参考書の不等式が出ました）
p(n)がn=Nに最大値をもつ場合は、大体このケースだ！ということです。
もう一度念押しですが、
式(#)はp(n)がn=Nに最大値を持つための十分条件であり、
必要条件ではありません。
つまり式(#)が成り立たなくてもn=Nで最大値となることはあります。
しかし高校数学においては、大抵は式(#)を満たすケースなのです。
この現実を利用して、Nを求めよう！というのが参考書の提案です。
隣の項との大きさを比較します。p(n)は常に正なので、
p(n+1) / p(n)
を調べた時、1より大きいのであれば、p(n+1)の方が大きい、つまり
グラフで言えば前半部分で、上りかけ部分
逆に1より小さいのであれば、p(n+1)の方が小さい、つまり
グラフで言えば後半部分で、もう最大値のところを通り過ぎた感じ
ちょうど1だったら両方とも最大値
です。
状況によりけりですが、p(n+1)/p(n)の計算が非常に簡単になることが
多々あります。なので、これを利用しましょう。
ということを、この参考書は言っています。
最後に、
p(n+1) - p(n)
から調べる方法（正ならグラフ左側、負ならグラフ右側）について、
参考書では、これよりも割り算でやったほうが良いと言っていますが、
状況によりけりです。
式変形、特に不等式の定石として、右辺を0にするというものがあります。
1との比較よりも0との比較の方が簡単なのです。プラスかマイナスか
だけを判定すればよいのですから。
状況によって使い分けるとよしです。
言いたいことはわかるけど、唐突というか、
いきなりこれを提示されても、運用のメリットがよくわからないですね…
この解説文が説明しようとしていることは、下記のとおりです。
すみませんが、長くなります。ご確認ください。
「サイコロを2個振って、出た目の合計がnとなるときの確率をp(n)」
というのがちょうど都合が良いので、
この具体例をイメージして読んでください。
ちなみにこのとき確率が最大となるnは n = 7で、p(n) = 1/6です。
n=7のときに確率が最大となるのですから、
n=6のときよりn=7のほうが確率は大きいわけで、p(6) < p(7)となります。
これは上記具体例に限った話ですが、
n=5のときよりn=6のほうが確率は大きく、p(5) < p(6)です。
同様に、n=4のときよりn=5のほうが確率は大きくて、p(4) < p(5)です。
まとめると
p(1) < p(2) < p(3) < p(4) < p(5) < p(6) < p(7)
です。p(2)は1/36だし、p(1)は0ですよね。
さて、逆に大きい側もp(7) > p(8)で、p(8)>p(9)といった感じで
p(7) > p(8) > p(9) > p(10) > p(11) > p(12)
となります。
全部まとめると
p(1) < p(2) < ... < p(6) < p(7) > p(8) > ... > p(11) > p(12)
となります。
今回の具体例の場合、p(n)について上記の不等式が成り立ちます。
これをグラフにしてみます。
横軸をn、縦軸をp(n)としてグラフを書いてみると、
一つの山ができます。
nに対してp(n)が今回の具体例の場合のように変化する、つまりグラフを
書いてみれば一つの山になるようなケースというのは多々あります。
高校数学でよくある確率の問題で、最大値が存在するようなものでは、
ほとんどこのケースにあてはまるだろう、という前提があるのです。
もちろんぜんぜん一般論ではでない話ですが。
先ほどの
p(1) < p(2) < ... < p(6) < p(7) > p(8) > ... > p(11) > p(12)
を一般的な書き方に直します。
まず最大値は7ではなく、参考書にあわせてNとします。
不等式は、今は＜としていますが、もう少し緩く、≦とします。
最後が12とは限らず不明なので、右側は最後まで書きません。
すると
(#) p(1)≦p(2)≦ ... ≦p(N-1)≦p(N)≧p(N+1)≧ ...
となります。（やっと参考書の不等式が出ました）
p(n)がn=Nに最大値をもつ場合は、大体このケースだ！ということです。
もう一度念押しですが、
式(#)はp(n)がn=Nに最大値を持つための十分条件であり、
必要条件ではありません。
つまり式(#)が成り立たなくてもn=Nで最大値となることはあります。
しかし高校数学においては、大抵は式(#)を満たすケースなのです。
この現実を利用して、Nを求めよう！というのが参考書の提案です。
隣の項との大きさを比較します。p(n)は常に正なので、
p(n+1) / p(n)
を調べた時、1より大きいのであれば、p(n+1)の方が大きい、つまり
グラフで言えば前半部分で、上りかけ部分
逆に1より小さいのであれば、p(n+1)の方が小さい、つまり
グラフで言えば後半部分で、もう最大値のところを通り過ぎた感じ
ちょうど1だったら両方とも最大値
です。
状況によりけりですが、p(n+1)/p(n)の計算が非常に簡単になることが
多々あります。なので、これを利用しましょう。
ということを、この参考書は言っています。
最後に、
p(n+1) - p(n)
から調べる方法（正ならグラフ左側、負ならグラフ右側）について、
参考書では、これよりも割り算でやったほうが良いと言っていますが、
状況によりけりです。
式変形、特に不等式の定石として、右辺を0にするというものがあります。
1との比較よりも0との比較の方が簡単なのです。プラスかマイナスか
だけを判定すればよいのですから。
状況によって使い分けるとよしです。