整数問題 平方数であることの証明について

[ゲスト]

整数問題 平方数であることの証明
.
・a,b,cは正の整数
・a,b,cの3つとも割り切る素数は存在しない
・a(a+c)=b^2 (この式を①とする。)が成立している
このとき、aが平方数であることを示せ。

という問題です。
解答では、
「bの任意の素因数をpとする。
aとa+cが両方ともpの倍数になると仮定すると、c=(a+c)-aにより、
cもpの倍数になる。
すると、a,b,cがすべてpの倍数となり、与えられた条件に反する。
故に、a,a+cの一方だけがpをもつ。
①の右辺にはpが偶数個あるから、a,a+cの一方だけがpを偶数個もつ。(ア)
故に、a,a+cはともに平方数である。(イ)
故に、aは平方数となる。」
となっています。
アまでは理解できたのですが、アからイへの飛躍(?)が理解できません。
なぜ、アが成立するならイが成立するのでしょうか。

教えてください。よろしくお願いいたします。

[ゲスト]

確かに少し飛躍がありますね
分からなくはないですが, 不親切です.

bが平方数なので, bの任意の素因数pの指数をkとすると, kは偶数になっていますよね.

a(a+c) = b
です.
素因数分解を考えると, 右辺b はp をk個分持っています.
したがって, 素因数 p は左辺の a と a+cに割り振られます.
a と a+cに割り振られたpの個数をそれぞれk_1, k_2としましょう.

幾つずつ割り振られるのか.
k_1 + k_2 = k = 偶数です.
kが偶数なので,
k_1 と k_2 は 偶数偶数か奇数奇数ですよね.

奇数奇数ではない...ということを示すことで, 偶数偶数であることを言います.
偶数偶数であれば, 任意の素因数pを偶数個もっていることになるので, 平方数ですよね.

奇数奇数ではないことは(ア)で言えています.

こんな感じでいいでしょうか。