展開について質問です。

[ゲスト]

数学について質問です。
参考書を解いていたら(x-2y)^3+(x+2y)^3を展開すると2x^3+24xy^2と答えに書いたあったのですがどうも理解ができません。
もしよければ解説していただけないでしょうか?

[ゲスト]

はじめに
展開の際は、次数ごとに考えていくと途中指揮を省略でき、その分効率的に計算できます。(書いている時間が最も時間ロスだからです)
例) (x+2)(x+3)
x^2の係数は1、x^1の係数は2+3、x^0の係数は6です。

この考え方を使って(x-2y)^3+(x+2y)^3もやってみます。

・x^3の係数について
(x-2y)^3からx^3が1つ、(x+2y)^3からも1つ出てくるので、合計2です。

・x^2の係数について
(x-2y)^3からは-2yx^2が3つ、(x+2y)^3からは2yx^2が3つずつ出てくるので、合計0

・x^1の係数について
(x-2y)^3からは4y^2xが3つ、(x+2y)^3からも3つ出てくるので、合計24y^2xです。

・x^0の係数について
(x-2y)^3からは-8y^3が1つ、(x+2y)^3からは8y^3が一つ出てくるので、合計0


以上を合わせて、
2x^3 + 24xy^2です。

[ゲスト]

3乗の展開公式
\[(a+b)^3=a^3+3a^2 b+ 3a b^2 +b^3 \]
\[(a-b)^3=a^3-3a^2 b+ 3a b^2 -b^3 \]
より（実際は一番目の式を使っただけですが)
\[(x-2y)^3+(x+2y)^3 \]
\[ =x^3+ 3 \cdot x^2 \cdot (-2y)+3 \cdot x \cdot (-2y)^2+(-2y)^3 \]
\[+x^3+ 3 \cdot x^2 \cdot 2y+3 \cdot x \cdot (2y)^2+(2y)^3\]
\[=(x^3-6x^2 y +12xy^2-8y^3)+(x^3+6x^2 y + 12xy^2 +8y^3) \]
\[=2x^3+24xy^2 \]