数学の質問

[nagano]

以下の問題が分かりません。教えてください。
次の等式を満たす△ABCはどのような三角形か。
(1)sin²A＋sin²B＝sin²(A+B)
(2)acosA=ccosC

[harusame]

(1) $A+B+C=180^{\circ}$ より $A+B=180^{\circ}-C$
よって $\sin{(A+B)}=\sin{(180^{\circ}-C)}=\sin{C}$
したがって、与えられた式は
$\sin^{2}{A}+\sin^{2}{B}=\sin^{2}{C}$ ・・・①と書き換えることができる。
正弦定理から、$\bigtriangleup ABC $の外接円の半径を $R$ とすると
$\sin{A}=\frac{a}{2R}, \sin{B}=\frac{b}{2R}, \sin{C}=\frac{c}{2R}$
となるから①に代入すると
$ \left( \frac{a}{2R} \right)^2+\left( \frac{b}{2R} \right)^2
=\left( \frac{c}{2R} \right)^2$
よって $a^2+b^2=c^2$
$\bigtriangleup ABC $は $\angle C=90^{\circ}$の直角三角形である。

[harusame]

(2)余弦定理より
$a \cdot \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=c \cdot \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$
分母を払うと
$ a^2 (b^2+c^2-a^2)=c^2 (a^2+b^2-c^2) $
$ a^2 b^2 +a^2 c^2-a^4= a^2 c^2 +b^2 c^2-c^4 $
$(a^2-c^2)b^2=a^4-c^4=(a^2-c^2)(a^2+c^2) $
$(a^2-c^2)(b^2-a^2-c^2)=0 $
よって $a^2=c^2 $ または $b^2-a^2-c^2=0 $
すなわち $a=c $ または $b^2=a^2+c^2$
したがって、 $\bigtriangleup ABC $は
$BA=BC$の二等辺三角形または $\angle B=90^{\circ}$の直角三角形である。

[nagano]

理解できました。このような問題を解くコツなどはありますでしょうか。

[harusame]

(1)のように $ \sin$ が含まれる場合は正弦定理、
(2)のように $\cos$ が含まれる場合は余弦定理が使えるように
式を変形すると解きやすいです

[nagano]

かしこまりました。丁寧な対応感謝いたします。また機会がありましたら、よろしくお願いいたします。