中3 数学相似です 添付画像問題が分かりません 答えは7/30です どうか教えてください

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中3 数学相似です
添付画像問題が分かりません
答えは7/30です
どうか教えてください

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FDとCEの交点をHとします。
角ECDと角ABCは
正三角形の性質からどちらも60度

これから、ABとCEは平行だとわかります。

すると、△AEGと△CHGは相似だとわかります。
なぜなら
角AGEと角CGHは対頂角になり
角AEGと角CHGは平行線の錯角にあたるからです。

となると、この二つの三角形の相似比が分かれば解けそうですね。

ここで、
△BFDと△CHDに着目すると、ABとCEが平行だという点に注意すると
この二つも相似になります。
でもって、BDが10+10=20、CDが10であることから相似比が2:1であることがわかり、

CHが3であることがわかります。

となると△AEGと△CHGの相似比は4:3になり、
CGの長さはACの3/7になるので、
10×3/7=30/7になります。

答えのご確認をお願いいたします。